一、单项选择题1. 已知f(2x)=4x
2+2x+1,则
=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] f(2x)=(2x)
2+(2x)+1,则f(x)=x
2+x+1,
2. 下列方程是一阶线性微分方程的是______
A.y'+xy-tanx=0
B.y'-y
2=0
C.y"+x
2y=x
D.
A B C D
A
[解析] 形如y'+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程. A项可整理成y'+xy=tanx,是一阶线性微分方程. B项是一阶非线性微分方程,C项是二阶线性微分方程,D项不是微分方程.
4. 不定积分
=______
A.arcsin
2x+C
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
二、填空题1. 行列式
=______.
28
[解析]
=(-8)×(-8)-(-6)×(-6)=28.
2. 已知函数f(x)在区间[0,2]上连续,且
=______.
8
[解析]
3. 矩阵
的秩是______.
3
[解析]
,故矩阵A的秩为3.
4. 函数
的单调递减区间为______.
(-∞,0)
[解析] f(x)的定义域为(-∞,+∞),
令f'(x)<0,解得x<0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0).
5. 由方程3xy-y
2=x所确定的隐函数y=y(x)的微分dy=______.
[解析] 方程两边同时微分可得3xdy+3ydx-2ydy=dx,整理可得
三、解答题(共61分)设随机变量X的概率密度为其中k为未知常数,
求:1. k的值;
由概率密度的性质有
解得k=1;
2. X的分布函数;
由分布函数的定义有
3.
4. 求不定积分
5. 求幂级数
的和函数.
方法一 因为
所以
,x∈
方法二 因为
所以幂级数的收敛半径
,收敛区间为
当
时,级数为
,发散;当
时,级数为
,收敛,故该级数的收敛域为
令
,则
又S(0)=0,所以
6. 求函数
的单调区间和极值.
函数的定义域为R,
y'=x
2-3x+2=(x-1)(x-2),令y'=0,得x
1=1,x
2=2.
当x<1时,y'>0;当1<x<2时,y'<0;当x>2时,y'>0.
所以函数y的单调递增区间是(-∞,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2),在x=1处取得极大值
;在x=2处取得极小值
7. 设y=(1+x)
cosx,求y'(0).
方法一 因为y=(1+x)
cosx=e
cosx·ln(1+x),所以
所以y'(0)=1.
方法二 y=(1+x)
cosx两边取对数得
lny=cosx·ln(l+x),
上式两边关于x求导得
整理得
所以y'(0)=1.
8. 已知函数y=lnsinx+sinlnx,求y".