一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设函数f(x)=x
4-6x
2+7,则______.
- A.x=0是f(x)的极值点,点(1,2)是f(x)的拐点
- B.x=0是f(x)的极值点,点(1,2)不是f(x)的拐点
- C.x=0不是f(x)的极值点,点(1,2)是f(x)的拐点
- D.x=0不是f(x)的极值点,点(1,2)不是f(x)的拐点
A B C D
A
[解析] f(x)=x
4-6x
2+7,f'(x)=4x
3-12x.令f'(x)=0,解得x=0,x=
f''(x)=12x
2-12,f''(0)=-12<0,故x=0为极大值点;令f''(x)=0,解得x=±1,f(1)=2.又因为当-1<x<1时,f''(x)<0,f(x)在(-1,1)上是凸的;当x>1时,f''(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是凹的,故(1,2)为拐点.
4. 下列级数中发散的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 选项A,比较审敛法,极限形式
从而
的敛散性与
相同,因为
是收敛的,故
收敛;选项B,
为等比级数,
从而
收敛;选项C,
根据莱布尼兹审敛法可知,
单调递减,
故
收敛;选项D,由收敛的必要条件可知
故级数
发散.故选D.
5. 微分方程
的通解是______.
- A.x2+y2-2y=C
- B.x2+y2+2y=C
- C.x2-y2-2y=C
- D.x2-y2+2y=C
A B C D
C
[解析] 由
可得(1+y)dy=xdx,两边同时积分得
即x
2-y
2-2y=C.
二、填空题(每小题5分,共25分)1. 极限
2
[解析]
3. 已知函数f(x)在x=1处连续,且f(1)=0,
则极限
[解析]
4. 已知连续函数f(x)满足
则f(x)=______.
[解析] 令
则
两边同时取-1到1的积分得:
即
解得A=
故
5. 设L为连接(0,0),(2,3)两点的直线段,则对弧长的曲线积分∫
L=(3x-2y+1)ds=______.
[解析] 因为L过(0,0)和(2,3)两点,所以L的方程为
即3x-2y=0,故∫
L=(3x-2y+1)ds=∫
L1ds=S
l而
故原式
三、计算题(每小题8分,共80分.计算题要有计算过程)1. 求极限
解:
2. 设函数y=y(x)由方程e
y+ysinx-x=0所确定,求
解:(一)方程两边同时对x求导,得
解得
(二)隐函数求导公式:
4. 求定积分
解:
5. 已知u=f(x
2,x+y
2),其中f具有二阶连续偏导数,求
解:
6. 求函数f(x,y,z)=x
2+y
3+z
2-xyz在点P
0(1,0,1)处沿从点P
0(1,0,1)到点Q(2,1,2)方向的方向导数.
7. 计算二重积分
其中D是由y=x
2,y=1所围成的闭区域.
解:
8. 求曲线积分
其中L为圆周x
2+y
2=3,方向为逆时针.
解:P(x,y)=x
3+3x
2y
2-4y,Q(x,y)=2x
3y+y
3-x,
由格林公式得,原式
又因为S
D=πr
2=3π,即I=3×3π=9π.
9. 将函数
展开成(x+1)的幂级数.
解:
10. 求微分方程y''-7y'+10y=10x+3的通解.
解:对应的齐次方程y''-7y'+10y=0的特征方程为r2-7r+10=0,解得r1=2,r2=5.则对应的齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e5x(C1、C2为任意常数).
因为λ=0不是特征根,所以设非齐次方程的特解y*=ax+b,则(y*)'=a,(y*)''=0,分别代入y''-7y'+10y=10x+3,解得a=1,b=1,故y*=x+1.
故非齐次方程的通解为y=C1e2x+C2e5x+x+1(C1、C2为任意常数).
四、应用题与证明题(每小题10分,共20分.应用题的计算要有计算过程,证明题要有证明过程)1. 求由y=e
x,x=1和坐标轴围成的平面图形的面积S,并求该图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
解:
2. 证明:当x>0时,
证:由题知
可化为
令F(t)=lnt,t∈(x,x+1),x>0,显然F(t)在[x,x+1]上连续,在(x,x+1)上可导.由拉格朗日中值定理可知,在区间(x,x+1)上必存在一点ξ,使得
因为x<ξ<x+1,则
所以
得证.