一、单项选择题1. 当x→0时,下列选项为无穷小量的是______。
A.
B.cosx
C.
D.arccosx
A B C D
C
[考点] 本题考查函数、极限与连续——极限。
[解析] C项:无穷小量是指在给定自变量的趋向下,函数的值趋近于零。因为
。
符合无穷小量的定义。故选C。
A项:
极限不存在。不满足无穷小量的定义。故排除。
B项:
。不满足无穷小量的定义。故排除。
D项:
。不满足无穷小量的定义。故排除。
故本题答案为C。
2. 若级数
收敛,则p的取值范围是______。
- A.(1,+∞)
- B.[1,+∞)
- C.(0,+∞)
- D.(-∞,0)
A B C D
C
[考点] 本题考查无穷级数——常数项级数。
[解析] C项:形如级数
级数,因为此级数收敛,所以根据p级数的敛散性p+1>1,可得p>0。故选C。
A、B、D项为干扰选项,故排除。
故本题答案为C。
4. 求广义积分发散的是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查一元函数积分学——定积分。
[解析] D项:判断广义积分的敛散性需要先将其按照定积分的公式进行计算,如果计算的结果是一个数值,那么此广义积分是收敛的,如果计算的结果是无穷或不存在,那么此广义积分就是发散。
,结果不存在,所以此广义积分是发散的。故选D。
A项:
,结果是一个数值,所以此广义积分是收敛的。故排除。
B项:
,结果是一个数值,所以此广义积分是收敛的。故排除。
C项:
,结果是一个数值,所以此广义积分是收敛的。故排除。
故本题答案为D。
6. 函数f(x)在[-a,a]上连续,求
=______。
- A.f(a)
- B.2f(x)
- C.2f(a)cosa
- D.0
A B C D
D
[考点] 本题考查一元函数积分学——定积分。
[解析] D项:因为通过观察其积分上下限互为相反数,所以我们可以先去判断被积函数的奇偶性从而通过被积函数奇偶性的性质得到结果,令F(x)=[f(x)-f(-x)]cosx,将-x代入可得F(-x)=[f(-x)-f(x)]cos(-x)=-[f(x)-f(-x)]cosx=-F(x),所以被积函数为奇函数,根据性质可知
。故选D。
A、B、C项为干扰选项,故排除。
故本题答案为D。
8. 设A,B为两个随机事件,则下列正确的是______。
A.(A∪B)-B=A-B
B.(A∪B)∪A=A
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查概率论——随机事件与概率。
[解析] A项:
。故选A。
B项:当
时有(A∪B)∪A=A。故排除。
C项:根据对偶律可知
。故排除。
D项:
。故排除。
故本题答案为A。
二、填空题1. 计算
0
[考点] 本题考查函数、极限与连续——极限。
[解析]
。
2. 已知f(x)可导,且
,则f'(1)=______。
2e
[考点] 本题考查一元函数积分学——定积分。
[解析] 根据变上限积分函数的求导公式可得
,所以f'(1)=2e。
3.
,则|3A|=______。
9
[考点] 本题考查线性代数——矩阵。
[解析] 因为
,因为矩阵A是二阶的,所以|3A|=3
2|A|=9×1=9。
4. 设A,B为两个随机事件,且事件A,B相互独立,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)=______。
0.5
[考点] 本题考查概率论——随机事件与概率。
[解析] 因为事件A,B相互独立,可得
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B),
将P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7代入上式,解得P(B)=0.5。
三、计算题(每小题8分,共计64分)1. 计算
。
解:
[考点] 本题考查函数、极限与连续——极限。
2. 求微分方程
满足初始条件
的特解。
解:令
,可得y=ux,所以
,所以将
代入原式
可得
,分离变量可得
,两边同时积分可得,
,可得
,解得ln|sinu|=ln|Cx|,所以sinu=Cx,
将
回代可得,
,因为
,将x=1,
代入可解得,
,
所以微分方程的特解为
。
[考点] 本题考查微分方程——一阶微分方程。
3. 求不定积分∫e
xln(1+e
x)dx。
解:
[考点] 本题考查一元函数积分学——不定积分。
4. 判断无穷级数
的敛散性。
解:由题中级数
可得,
,可得
,
因为ρ=0<1,所以根据比值审敛定理可知,级数收敛。
[考点] 本题考查无穷级数——常数项级数。
5. 计算二重积分
,其中D由y=0,x=0,y=2,y=x围成。
解:积分区域D如图所示,可得
[考点] 本题考查多元函数微积分学——二重积分。
[解析] 在直角坐标系下有两种解二重积分的顺序,一种是先对x积分再对y积分,另一种是先对y积分再对x积分,选择积分顺序往往要通过积分区域的顺序和被积函数的性质来决定,本题中,积分区域D既可以用X型区域也可以用Y型区域,再来看被积函数如果先对y积分会发现用各种积分方法都比较困难,这时更好的选择是先对x积分,使计算更加便捷。
6. 单位通过电视和报纸两种方式做广告,假定销售收入为R(万元),电视广告费U(万元)与报纸广告费V(万元),有如下的关系:R=17+14U+34V-8UV-2U
2-10V
2,现有广告费3万元,求销售收入R的最大最优的广告策划。
解:由题可知目标函数R,条件函数φ(U,V)=U+V-3,构建拉格朗日函数,有F(U,V,λ)=17+14U+34V-8UV-2U
2-10V
2+λ(U+V-3),求偏导
,
,联立解方程组
所以当U=2,V=1时,可得R取得极大值,将U、V代入R中,可得R=45。
因为在实际情况中,条件极值就为最值,所以当U=2,V=1时,可得R取得最大值45。
[考点] 本题考查多元函数微积分学——多元函数微分学。
7. 已知矩阵X满足AX=B,其中
,求X。
解:因为AX=B,所以X=A
-1B,
因为
,所以矩阵A可逆。
[考点] 本题考查线性代数——矩阵。
8. 求非齐次线性方程组
的通解。
解:非齐次线性方程组的增广矩阵
因为
,所以非齐次线性方程组有无穷多解,
可得同解方程组为
所以原方程组的通解为
,其中k
1、k
2为任意常数。
[考点] 本题考查线性代数——线性方程组。
四、证明题(本大题8分)1. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且有a<x
1<x
2<x
3<b,证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得
。
证:因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以f(x)一定在该区间上有界且取得到最大值和最小值,即一定有m≤f(x)≤M,因为x
1,x
2,x
3∈(a,b),所以有m≤f(x
1)≤M,m≤f(x
2)≤M,m≤f(x
3)≤M,且有2m≤2f(x
2)≤2M,3m≤3f(x
3)≤3M,不等式两边同时相加可得6m≤f(x
1)+2f(x
2)+3f(x
3)≤6M,即
。
由介值定理必定存在一点ξ∈(a,b),有m≤f(ξ)≤M,使得
。
[考点] 本题考查函数、极限与连续——函数的连续性及其性质。
[解析] 因为题目中并没有给f(x)的具体形式,只告诉了我们f(x)在闭区间上连续和其自变量的范围,函数在闭区间上连续的性质有:最大值和最小值定理和介值定理,而题目中没有明确给出边界值,所以我们只能通过最大值和最小值定理,即一定有m≤f(x)≤M,通过四则运算构造出结论中等式的右端部分,并且也存在一点ξ满足此定理,可以得到左右两边分别相同的两个不等式,即可以得到存在
。本题也是属于在近几年都没有考察过的题,很容易在备考时被忽略掉,所以还是要把基本功打扎实,才能保证在考试的时候出现任何题型都临危不乱。