一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。2. 当x→0时,ln(1+2x
2)是x
2的______无穷小.
A B C D
D
[解析] 当x→0时,ln(1+2x
2)~2x
2,则
故当x→0时,ln(1+2x
2)是x
2的同阶非等价无穷小.
5.
在闭区间
上的最大值是______
A.0
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
6. 设二元函数z=f(x,y)在点M
0(x
0,y
0)的某一邻域内连续,且有连续的一、二阶偏导数,若M
0(x
0,y
0)是驻点,令A=f
xx(x
0,y
0),B=f
xy(x
0,y
0),C=f
yy(x
0,y
0),则下列说法正确的是______
- A.当B2-AC<0且A<0时,点M0(x0,y0)是极大值点
- B.当B2-AC<0且A>0时,点M0(x0,y0)是极大值点
- C.当B2-AC>0时,点M0(x0,y0)是极值点
- D.当B2-AC=0时,点M0(x0,y0)一定是极值点
A B C D
A
[解析] 由二元函数极值存在的充分条件可知,
当B2-AC<0且A<0时,点M0(x0,y0)是极大值点;
当B2-AC<0且A>0时,M0(x0,y0)是极小值点;
当B2-AC>0时,点M0(x0,y0)不是极值点;
当B2-AC=0时,M0(x0,y0)可能是极值点,也可能不是极值点,需另作讨论.故应选A.
二、填空题(每小题3分,共30分)1.
[解析]
2. 函数
的定义域是______.
(-∞,0)∪(0,2)
[解析] 由题意知f(x)中的x应满足
故函数的定义域为(-∞,0)∪(0,2).
3. 将二次积分
改写为另一种次序的积分是______.
[解析] 积分区域为{(x,y)|0≤x≤3,x
2≤y≤3x},如图所示,还可以表示为
所以交换积分次序后的二次积分为
4. 已知A(1,-1,0),B(2,1,1),则过点A且垂直于直线AB的平面方程是______.
x+2y+z+1=0
[解析]
=(1,2,1),因为所求平面垂直于直线AB,所以所求平面的法向量可取AB的方向向量,则平面的法向量为(1,2,1).又因为所求平面过点A,所以所求平面方程为(x-1)+2(y+1)+(z-0)=0,即x+2y+z+1=0.
5. 函数
的定义域是______.
(-2,2)
[解析] 由4-x2≥0且4-x2≠0解得-2<x<2,则函数的定义域为(-2,2).
6. 已知函数f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=f(1),则
0
[解析]
7. 极限
e
[解析]
8. 过点(2,1,3)且平行于平面3x+y-2z+6=0的平面方程是______.
3x+y-2z-1=0
[解析] 所求平面方程与已知平面方程平行,所以所求平面方程的法向量可取n=(3,1,-2),又该平面过点(2,1,3),故所求平面方程为3(x-2)+y-1-2(z-3)=0,即3x+y-2z-1=0.
9. 曲线y=(x
2-2)e
x的凸区间是______.
[-4,0]
[解析] y的定义域是(-∞,+∞),y'=(x2+2x-2)ex,y''=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,令y''<0,解得-4<x<0,所以曲线y=(x2-2)ex的凸区间是[-4,0].
10. 已知
其中D
1={(x,y)|x
2+y
2≤1},D
2={(x,y)|1≤x
2+y
2≤2},若D={(x,y)|x
2+y
2≤2},则
-1
[解析] 因为D可分为D
1和D
2两个区域,则由积分区域的可加性得
三、解答题(共60分,写出必要的文字说明,验算步骤)1. 由曲线y=x
3和直线x=2,y=0围成一平面图形,试求该平面图形的面积及该平面图形绕y轴旋转一周形成的旋转体的体积.
解:曲线y=x
3与直线x=2,y=0围成的平面图形如图所示,则所求平面图形的面积为
该平面图形绕y轴旋转一周形成的旋转体的体积为
2. 求极限
解:
3. 计算
解:
4. 计算
其中D为直线x+y=3与曲线xy=2所围成的闭区域.
解:积分区域D如图所示,
则
5. 设z=x
2sin2y+e
xy,求
解:
6. 计算定积分
解: