第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2.
=______
A.e
3 B.e
2 C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查了两个重要极限的知识点.
[解析]
5. ∫2cos3xdx=______
A.6sin3x+C
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
7. 设
,则
=______
A.
B.
C.2(x-y)
D.2(y-x)
A B C D
D
[考点] 本题考查了偏导数的知识点.
[解析]
10. 级数
的收敛半径为______
A.
B.1
C.
D.2
A B C D
B
[考点] 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点.
[解析] 由题可知
,因此级数的收敛半径为
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1.
=______.
3
[考点] 本题考查了函数极限的运算的知识点.
[解析]
2. 设函数f(x)满足f'(1)=5,则
=______.
10
[考点] 本题考查了导数的定义的知识点.
[解析]
3. 设
,则dy=______.
[考点] 本题考查了函数微分的知识点.
[解析]
4. 曲线
的水平渐近线方程为______.
y=-1
[考点] 本题考查了曲线的渐近线的知识点.
[解析]
,因此曲线的水平渐近线为y=-1.
5.
=______.
[考点] 本题考查了不定积分求解的知识点.
[解析]
6.
=______.
2
[考点] 本题考查了奇偶函数在对称区间上的定积分的知识点.
[解析] 令f(x)=xsinx
2,有f(-x)=-xsinx
2=-f(x),即函数f(x)是奇函数,因此
7.
=______.
[考点] 本题考查了定积分的计算的知识点.
[解析]
8. 设z=xtan(y
2+1),则
=______.
tan(y2+1)
[考点] 本题考查了二元函数的偏导数的知识点.
[解析] 对x求偏导,可将tan(y
2+1)看作是常数,故
9. 微分方程
的通解为y=______.
Ce-2x
[考点] 本题考查了可分离变量的微分方程的知识点.
[解析]
10. 过点(1,0,-1)与平面3x-y-z-2=0平行的平面的方程为______.
3x-y-z-4=0
[考点] 本题考查了平面的点法式方程的知识点.
[解析] 平面3x-y-z-2=0的法向量为(3,-1,-1),所求平面与其平行,故所求平面的法向量为(3,-1,-1),由平面的点法式方程得所求平面方程为3(x-1)-(y-0)-(z+1)=0,即3x-y-z-4=0.
三、解答题(共70分,解答应写出推理、演算步骤)1. 计算
解:
2. 设函数
,求f'(1).
解:f'(x)=x-cosx.
f'(1)=1-cos1.
3. 求函数f(x)=x
3-x
2-x+2的单调区间.
解:f'(x)=3x
2-2x-1.
4. 求曲线y=x
2在点(1,1)处的切线方程.
解:y'=2x,y'|x=1=2.
故所求的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
5. 求
解:
7. 计算
,其中D是由直线y=0,y=x,x=1所围成的闭区域.
解:
8. 证明:当x>0时,e
x>1+x.
证明:设f(x)=ex-1-x,则f'(x)=ex-1.
当x>0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.
又因为f(x)在x=0处连续,且f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>0.
因此当x>0时,ex-1-x>0,即ex>1+x.