一、单项选择题 2. 已知i为虚数单位,则复数
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
。故本题选C。
5. 设a=log
2 0.6,b=sin2,
,则a,b,c的大小关系为______。
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b
A B C D
A
[解析] a=log
2 0.6<log
2 1=0,b=sin2∈(0,1),
,则a,b,c的大小关系为a<b<c。故本题选A。
6. 设m,n为实数,则“0.1
m >0.1
n ”是
的______。
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
A B C D
D
[解析] 因为
,所以“0.1
m >0.1
n ”是
的既不充分又不必要条件。故本题选D。
7. 已知f(x)为偶函数,且
,则
=______。
A B C D
D
[解析] 令h(x)=xe
|x| ,注意到h(x)的定义域为R,且h(-x)=-xe
|-x| =-h(x),所以h(x)=xe
|x| 为奇函数,于是
。又f(x)为偶函数,且
,所以
,则
。故本题选D。
9. 有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯,沙弥点灯向上行,首层掌灯共三盏,明灯层层更倍增,小僧掌灯到塔顶,心中默数灯几重,玲珑塔上灯火数,三百八十一盏明,灯映湖心点点红,但问塔顶几盏灯?”童谣中玲珑塔的顶层灯的盏数为______。
A B C D
C
[解析] 由题意可知,玲珑塔由下到上,每一层灯的盏数构成一个等比数列,设首层掌灯为a
1 ,公比为q,顶层掌灯为a
n ,前n项和为S
n ,则a
1 =3(首层掌灯共三盏),q=2(明灯层层更倍增),S
n =381(三百八十一盏明),根据等比数列的前n项和公式,
,解得a
n =192,所以童谣中玲珑塔的顶层灯的盏数为192。故本题选C。
10. 已知双曲线M:
(a>0,b>0)的离心率为
,AB为过双曲线右焦点的一条弦,且AB长度的最小值为4,则双曲线M的方程为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 当弦AB的斜率为0时,AB的长度最小,此时AB=2a,所以2a=4,解得a=2,又双曲线M的离心率
,所以
,于是
,则双曲线M的方程为
。故本题选D。
11. 已知A,B,C为球O的球面上的三个点,圆O
1 为△ABC的外接圆。若圆O
1 的面积为4π,AB⊥AC,
,则球O的表面积为______。
A B C D
B
[解析] 设圆O
1 的半径为r,球O的半径为R。由圆O
1 的面积为4π,得r=2,因为AB⊥AC,所以BC=2r=4,从而
,在Rt△OO
1 A中,
,即
,则球O的表面积为4πR
2 =32π。故本题选B。
12. 椭圆C:
(a>b>0)的左焦点为F,过原点O的直线与椭圆交于M,N两点。若∠MFN=120°,
,则椭圆C的离心率为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 直线MN过原点O,根据椭圆的对称性,则MO=NO;设椭圆的右焦点为F',则FO=F'O,则四边形NFMF'为平行四边形,令|MF|=|NF'|=m,则|MF'|=|NF|=2a-m。在△MNF中,|MN|=
,则|MF|
2 +|NF|
2 -2|MF||NF|cos∠MFN=|MN|
2 ,即m
2 +(2a-m)
2 +m(2a-m)=28,整理得m
2 -2am+4a
2 =28。在△FMF'中,
,∠FMF'=180°-∠MFN=60°,则|MF|
2 +|MF'|
2 -2|MF||MF'|cos∠FMF'=|FF'|
2 ,即m
2 +(2a-m)
2 -m(2a-m)=12,整理得3m
2 -6am+4a
2 =12。联立方程组
解得a=3,又
,所以椭圆C的离心率为
。故本题选A。
二、填空题 1. 已知函数f(x)=2x
3 -3x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______。
3x-y-4=0
[解析] 函数f(x)=2x3 -3x的导函数f'(x)=6x2 -3,又f(1)=2-3=-1,f'(1)=6-3=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-1)=3(x-1),即3x-y-4=0。
2. 在二项式(2x
2 -1)
5 的展开式中,各项系数和为______。
1
[解析] 令x=1,可得二项式(2x2 -1)5 的展开式中各项系数和为(2×12 -1)5 =1。
3. 已知函数
若存在实数x
1 ,x
2 ,x
3 ,x
4 ,满足x
1 <x
2 <x
3 <x
4 ,且f(x
1 )=f(x
2 )=f(x
3 )=f(x
4 ),则
的值为______。
12
[解析] 作出函数f(x)的草图,如下图所示。由题意,可知0<x
1 <1<x
2 <2,2<x
3 <x
4 <10,且x
3 ,x
4 关于x=6对称,则x
3 +x
4 =12,因为f(x
1 )=f(x
2 ),即|log
2 x
1 |=|log
2 x
2 |,又log
2 x
1 <0,log
2 x
2 >0,则log
2 x
1 +log
2 x
2 =log
2 x
1 x
2 =0,则x
1 x
2 =1,故
。
4. 已知直线l过抛物线C:x
2 =-4y的焦点F,且直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两切线交于点G。设A(x
a ,y
a ),B(x
b ,y
b ),G(x
0 ,y
0 ),则下列命题正确的有______。
①y
a y
b =4;
②
③
④以线段AB为直径的圆与直线
相离;
⑤△GAB面积的取值范围为[4,+∞)。
②③④⑤
[解析] ①抛物线C:x
2 =-4y的焦点F(0,-1),准线y=1,可设直线l的方程为y=kx-1,联立方程组
消去y,化简得x
2 +4kx-4=0,则x
a +x
b =-4k,x
a x
b =-4,所以
,①错误。
②由x
2 =-4y,得
,求导可得
,所以A点处的抛物线的切线方程为
,B点处的抛物线的切线方程为
,联立方程组,可得两切线交点的横坐标
,②正确。
③由
,可得0-x
a =2(x
b -0),即x
a =-2x
b ,又x
a x
b =-4,所以
,将其代入抛物线方程,得
,③正确。
④
,线段AB的中点到准线的距离
,因为
,所以以线段AB为直径的圆与准线y=1相切,则以线段AB为直径的圆与直线
相离,④正确。
⑤由②可得
,所以点G(-2k,1),则点G到直线AB:y=kx-1的距离为
,又|AB|=4+4k
2 ,所以
,⑤正确。
综上所述,正确的命题有②③④⑤。