一、判断题1. 计算:2a·3ab=6a
2b。
对 错
A
[解析] 根据单项式乘法的运算规律,2a·3ab=6a2b。
2. 将抛物线y=x
2向上平移3个单位,所得新抛物线的表达式是y=x
2+3。
对 错
A
[解析] 根据抛物线移动的规律,将抛物线y=x2向上平移3个单位长度后得到的新抛物线是y=x2+3。
3. 如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取一个数,那么取到的数恰好是5的倍数的概率是
。
对 错
B
[解析] 从1到10这10个数中任意选取一个数,是5的倍数的数有5和10,所以取到的数恰好是5的倍数的概率是
。
4.
是同类二次根式。
对 错
B
[解析] 两个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这两个二次根式叫作同类二次根式。因为
的最简形式是
,所以
与
不是同类二次根式。
5. 我们经常将调查得来的数据用各类统计图进行整理与表示,条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图这四种统计图中,扇形图能最好地凸显部分与整体的关系。
对 错
A
[解析] 条形图能够清楚的表示出事物的数量;扇形图可以清楚地看出各部分占整体的百分比;折线图能够清楚地反映出事物的变化趋势;频数分布直方图能够很容易地表示大量数据,非常直观地表明分布的形状。这四种统计图中,扇形图能最好的凸显部分与整体的关系。
6. 集合A={x|x>1},B={x|x
2-3x<4},则A∩B=(1,4)。
对 错
A
[解析] 因为B={x|x2-3x<4}={x|-1<x<4},所以A∩B=(1,4)。
7. 以双曲线
的焦点为顶点,离心率为
的双曲线方程为
。
对 错
A
[解析] 因为双曲线
的焦点为(±2,0),所以要求的双曲线的顶点为(±2,0),即a=2,又离心率为
,故
,解得b
2=8,所以要求的双曲线方程为
。
8. 命题“
,x
2+1>2”的否定是“
,x
2+1≤2”。
对 错
A
[解析] 全称命题的否定是特称命题,故“
,x
2+1>2”的否定是“
,x
2+1≤2”。
9. 关于x的一元二次方程(k-2)x
2-2kx+k-6=0有实数根,则k的取值范围为
。
对 错
B
[解析] 因为一元二次方程(k-2)x
2-2kx+k-6=0有实数根,所以k-2≠0且Δ=(-2k)
2-4·(k-2)·(k-6)≥0,解得
且k≠2。
10. 小明妈妈经营了一家服装专卖店,为了合理利用资金,小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数量进行了一次统计分析,决定在这个月的进货中多进某种型号的服装,那么在所有特征数中,小明应重点参考的特征数是众数。
对 错
A
[解析] 众数是一组数据中出现次数最多的数。小明进货要多进某种型号的服装,应重点参考的特征数就是众数。
11. 计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为
。
对 错
B
[解析]
。
12. 函数
的定义域为(0,1]。
对 错
A
[解析] 函数
的定义域为
即x∈(0,1]。
13. 若向量
,|b|=2,(a-b)⊥a,则向量a,b的夹角是
。
对 错
B
[解析] 设向量a,b的夹角为θ。因为
,|b|=2,(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=|a|
2-
,解得
,又θ∈[0,π],所以向量a,b的夹角是
。
14.
的展开式中x
4项的系数为132。
对 错
B
[解析] 二项式(2x+1)
6展开式的通项为
,其二次项和五次项系数分别为
,所以
的展开式中x
4项的系数为
。
15. 已知函数f(x)=a
x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则
。
对 错
A
[解析] 当0<a<1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递减,由题意得
即
此时
;当a>1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递增,由题意得
此时方程无解,所以
。
二、单项选择题7. 在等比数列{a
n}中,a
2=3,a
5=81,b
n=log
3a
n,数列{b
n}的前n项和为T
n,则T
8=______。
A B C D
B
[解析] 设等比数列{a
n}的公比为q,则
,解得q=3,所以a
n=a
2q
n-2=3
n-1,从而b
n=log
3a
n=n-1。因此,
。故本题选B。
9. 已知直线l,m,平面α,β,γ,给出下列命题:
①l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;
②α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;
④l⊥m,l⊥α,m⊥β,则α⊥β。
其中正确的有______。
A B C D
C
[解析] 根据线面垂直、平行的性质,①②正确;当α⊥γ,β⊥γ时,α和β可能平行也可能相交,③错误;根据面面垂直的判定,④正确。综上所述,正确的有3个。故本题选C。
10. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D。设运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图像大致是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 在矩形ABCD中,当点P在BC上运动时,
,即当0≤x≤3时,y=3;当点P在CD上运动时,
,即当3<x<5时,
,观察选项可知D项符合题意。故本题选D。
11. 如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,点E在CD上,且DE:EC=1:2,连接BE交AC于点F。若BD=6,CF=4,则菱形ABCD的边长为______。
A.4
B.
C.
D.5
A B C D
C
[解析] 在菱形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,所以∠BAF=∠ECF,又∠AFB=∠CFE,所以△ABF~△CEF,从而
,由DE:EC=1:2,得AB:CE=3:2,于是
。根据菱形的对角线互相垂直平分,可知∠AOD=90°,
,由勾股定理得
,所以菱形的边长为
。故本题选C。
13. 将函数
的图像向左平移
个单位长度后,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,下列关于函数y=g(x)的说法错误的是______。
A.最小正周期为π
B.图像关于直线
对称
C.图像关于点
对称
D.初相为
A B C D
C
[解析] 根据正弦函数的伸缩变化规律,可知变化后得到函数
的图像。g(x)的最小正周期为
,A项正确;g(x)的对称轴为
,即
,当k=0时,
,B项正确;因为
,所以图像不关于点
对称,C项错误;易知函数g(x)的初相为
,D项正确。故本题选C。
17. 方程f(x)=2
x|log
0.5x|-1的零点个数为______。
A B C D
B
[解析] 令f(x)=0,则
,分别作出函数y=|log
0.5x|,
的图像,如图所示,根据图像可知零点的个数为2。故本题选B。
18. 在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p
1为事件
的概率,p
2为事件“
”的概率,p
3为事件
的概率,则______。
- A.p1<p2<p3
- B.p2<p3<p1
- C.p3<p1<p2
- D.p3<p2<p1
A B C D
B
[解析] 在区间[0,1]上,事件p
1表示的区域如图(1)所示,记为S
1;事件p
2表示的区域如图(2)所示,记为S
2;事件
表示的区域如图(3)所示,记为S
3。观察图像可知,阴影部分的面积S
2<S
3<S
1,根据几何概型的概率计算公式,易知p
2<p
3<p
1。故本题选B。
19. 如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E。若AC=6,BC=8,则AD=______。
A.5
B.7
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为线段AB的垂直平分线交BC于点D,所以AD=BD,设AD=BD=x,则DC=8-x,在Rt△ACD中,AD
2=AC
2+DC
2,即x
2=6
2+(8-x)
2,解得
,于是
。故本题选D。
20. 已知数列{a
n}的首项为1,第2项为3,前n项和为S
n,当整数n>1时,S
n+1+S
n-1=2(S
n+S
1)恒成立,则S
15等于______。
A B C D
D
[解析] 由S
n+1+S
n-1=2(S
n+S
1),得S
n+1+S
n-1-2S
n=2S
1,即a
n+1-a
n=2a
1=2,所以a
n=1+2(n-1)=2n-1,当n=15时,a
15=2×15-1=29,于是
。故本题选D。
21. 从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 标有1,2,…,9的9张卡片中,卡片上的数为奇数的有5张,为偶数的有4张,所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率为
。故本题选C。
22. 函数
(-π≤x≤π且x≠0)的图像可能为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为
,所以该函数为奇函数,排除A,B选项;当x=π时,
,排除C选项。故本题选D。
25. 已知函数
且f(a)=-3,则f(6-a)=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 依题意,若a≤1,则2
a-1-2=-3,即2
a-1=-1,此时方程无解;若a>1,则-log
2(a+1)=-3,解得a=7,所以
。故本题选A。
26. 如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,以适当的长为半径作弧,两弧分别交于点E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一点。若BC=4,△ABC的面积为10,则BM+MD长度的最小值为______。
A.
B.3
C.4
D.5
A B C D
D
[解析] 连接AM,AD。由题意易知EF垂直平分AB,根据垂直平分线的性质,AM=BM,所以BM+MD=AM+MD,又AM+MD≥AD(当且仅当M点在AD上时,不等式取等号),所以BM+MD的最小值为AD。已知AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC,于是
,解得AD=5,则BM+MD长度的最小值为5。故本题选D。
27. 已知实数x,y满足
若z=ax+y的最大值为16,则实数a等于______。
A.2
B.
C.-2
D.
A B C D
A
[解析] 根据不等式组,画出可行域如图所示。已知z=ax+y的最大值为16,即y=-ax+z在y轴上的截距为16。由图像知,当y=-ax+z经过点A(5,6)时,其在y轴上的截距最大,所以6=-5a+16,解得a=2。故本题选A。
29. 已知正实数a,b满足
,则(a+1)(b+2)的最小值是______。
A.3
B.
C.5
D.
A B C D
D
[解析] 已知正实数a,b满足
,根据均值不等式,有
(当且仅当
时,该不等式取等号),解得
。因为
,所以2a+b=3ab,于是(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥
。故本题选D。
30. 在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为______。
A.
B.
C.ρcosθ=2
D.ρsinθ=2
A B C D
C
[解析] 将圆ρ=4sinθ的极坐标方程化为直角坐标方程,得x
2+(y-2)
2=4。
的直角坐标方程为
,表示的是圆,不符合题意,A项错误;
的直角坐标方程为
,表示的是圆,不符合题意,B项错误;ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2,与圆x
2+(y-2)
2=4相切,符合题意,C项正确;ρsinθ=2的直角坐标方程为y=2,与圆x
2+(y-2)
2=4相交,不符合题意,D项错误。故本题选C。
31. 对于大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式:2
2=1+3,3
2=1+3+5,4
2=1+3+5+7,…,2
3=3+5,3
3=7+9+11,4
3=13+15+17+19,…,根据上述分解规律,若m
2=1+3+5+…+11,p
3的分解中最小正整数为21,则m+p=______。
A B C D
C
[解析] 观察22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…,可知22=1+3=1+(2×2-1),32=1+3+5=1+3+(2×3-1),42=1+3+5+7=1+3+5+(2×4-1),…,所以m2=1+3+5+…+11=1+3+5+…+(2×6-1),于是m=6。观察23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,可知23=3+5=(1×2+1)+5,33=7+9+11=(2×3+1)+9+11,43=13+15+17+19=(3×4+1)+15+17+19,…,因为p3的分解中最小正整数为21,所以(p-1)p+1=21,解得P=5(-4舍去),因此m+p=6+5=11。故本题选C。
32. 若点P(1,1)为圆x
2+y
2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为______。
- A.2x+y-3=0
- B.x-2y+1=0
- C.x+2y-3=0
- D.2x-y-1=0
A B C D
D
[解析] 设圆心为O。将圆的一般方程化为标准方程(x-3)
2+y
2=9,得圆心O的坐标为(3,0),因为点P(1,1)为圆的弦MN的中点,所以OP⊥MN,又OP所在直线的斜率为
,所以弦MN所在直线的斜率为2。已知点P(1,1)在弦MN上,于是弦MN所在直线方程为y-1=2×(x-1),整理得2x-y-1=0。故本题选D。
33. 已知曲线C
1:y=cosx,C
2:
,则下列结论正确的是______。
A.把C
1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到C
2 B.把C
1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到C
2 C.把C
1上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到C
2 D.把C
1上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到C
2 A B C D
D
[解析] 曲线C
2:
,将曲线C
1:y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,可得到y=cos2x,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C
2。故本题选D。
34. 已知实数x,y满足
,则下列关系式中恒成立的是______。
A.tanx>tany
B.ln(x
2+2)>ln(y
2+1)
C.
D.x
3>y
3 A B C D
D
[解析] 已知实数x,y满足
,则x>y。因为函数y=tanx在其定义域上不是单调函数,所以tanx>tany不一定成立,A项不符合题意;若y<x<0,则x
2+2与y
2+1的大小关系不能确定,故ln(x
2+2)>ln(y
2+1)不一定成立,B项不符合题意;当0<y<x时,
不成立,C项不符合题意;函数y=x
3在R上为增函数,若x>y,则必有x
3>y
3,D项符合题意。故本题选D。
35. 若直线l:4x-ay+1=0与圆C:(x+2)
2+(y-2)
2=4相切,则实数a的值为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由圆的标准方程(x+2)
2+(y-2)
2=4,得圆心C(-2,2),因为直线l与圆C相切,所以
,解得
。故本题选A。
37. 已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上,且侧棱长都相等,高为4,底面是边长为
的正方形,则该球的表面积为______。
A.
B.
C.36π
D.34π
A B C D
B
[解析] 如图所示,设球的半径为R,四棱锥底面中心为O',球心为O。因为底面是边长为
的正方形,所以底面外接圆的半径为3,即AO'=3,又PO'=4,所以OO'=PO'-PO=4-R。在Rt△AOO'中,AO
2=AO'
2+OO'
2,即R
2=3
2+(4-R)
2解得
,因此该球的表面积为
。故本题选B。
38. 已知ω>0,函数
上单调递增,则ω的取值范围是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为函数y=cosx的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),所以
,解得
,又ω>0,所以
,
,于是k=1,因此ω的取值范围是
。故本题选D。
39. 已知在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(1,3),O为坐标原点,且
,其中α+β=1。若N(1,0),则
的最小值是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由已知得
,于是
,又α+β=1,所以
。由于函数y=2β
2-2β+1开口向上,且对称轴为
,所以当
时,
取得最小值,最小值为
。故本题选A。
40. 设在R上可导的函数f(x)满足f(0)=0,
,并且在(-∞,0)上有
,实数a满足
,则实数a的取值范围是______。
- A.(-∞,3]
- B.[3,+∞)
- C.[4,+∞)
- D.[-∞,4)
A B C D
A
[解析] 设
,则
(x<0),所以函数
在区间(-∞,0)上单调递减,又
,所以函数g(x)是偶函数,于是g(x)在区间(0,+∞)上单调递增。因为
,所以g(6-a)≥g(a),即|6-a|≥|a|,解得a≤3。故本题选A。
三、单项选择题1. 设S
n是等差数列{a
n}的前n项和。若
,则
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 根据等差数列的性质,可知S
4,S
8-S
4,S
12-S
8,S
16-S
12,…成等差数列。已知
,令S
4=k,S
8=3k,所以S
8-S
4=2k,于是S
12-S
8=3k,S
12=6k,S
16-S
12=4k,S
16=10k,则
。故本题选A。
2. 已知α∈(0,π),
,则cosα=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由
,得sinαcosα=2cos
2α,因为α∈(0,π),所以cosα=0或sinα=2cosα。当sinα=2cosα时,cos
2α+sin
2α=cos
2α+4cos
2α=5cos
2α=1,解得
(负值舍去),所以
或0。故本题选A。
4. 求下列函数的零点,可以采用二分法的是______。
A.f(x)=x
4 B.
C.f(x)=cosx-1
D.f(x)=|2
x-3|
A B C D
B
[解析] A项,f(x)=x
4不是单调函数,且y≥0,不能采用二分法求零点;B项,
是单调函数,且y∈R,可以采用二分法求零点;C项,f(x)=cosx-1不是单调函数,且y≤0,不能采用二分法求零点;D项,f(x)=|2
x-3|不是单调函数,且y≥0,不能采用二分法求零点。故本题选B。
5. 已知角α的顶点为原点,始边与x轴的非负半轴重合,点
在终边上,则
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由题意知,
。故本题选B。
6. 已知抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于A,B两点。若双曲线的离心率是
,那么|AB|=______。
A.2
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由抛物线方程
,得准线方程为
,因为双曲线的离心率是
,所以
,又c
2=a
2+b
2所以
,因此双曲线的渐近线方程为
。联立抛物线的准线方程与双曲线的一条渐近线方程
解得y=1,根据双曲线的对称性可知,|AB|=2。故本题选A。
7. 已知抛物线y
2=4x的焦点到双曲线
(a>0)的一条渐近线的距离为
,则双曲线方程为______。
A.x
2-y
2=1
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由抛物线方程y
2=4x,得焦点坐标为(1,0),根据双曲线方程
(a>0),设渐近线方程为x±ay=0,则
,解得a
2=3,所以双曲线方程为
。故本题选C。
8. 已知双曲线C:
(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是______。
A.
B.
C.(2,+∞)
D.(1,+∞)
A B C D
A
[解析] 由题意知,双曲线渐近线的斜率
大于等于该直线的斜率,所以
,于是
。故本题选A。
9. 已知等比数列{a
n}的各项均为正数,且向量n=(a
5,a
4),m=(a
7,a
8),m·n=4,则log
2a
1+log
2a
2+…+log
2a
11=______。
A.5
B.
C.
D.2+log
25
A B C D
B
[解析] 由n=(a
5,a
4),m=(a
7,a
8),m·n=4,得a
5·a
7+a
4·a
8=4,因为数列{a
n}是等比数列,所以a
5·a
7=a
4·a
8=a
1·a
11=2,于是
。故本题选B。
10. 已知双曲线
(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作双曲线渐近线的垂线,垂足为A,直线AF交双曲线的右支于点B,且B为线段AF的中点,则该双曲线的离心率为______。
A.2
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由于双曲线的焦点到双曲线渐近线的距离为b,所以AF=b,OA=a,易得A点坐标为
,又B为线段AF的中点,所以B点坐标为
,将点B的坐标代入双曲线方程,化简得c
2=2a
2,所以该双曲线的离心率为
。故本题选D。
11. 已知向量a=(2,-3),b=(3,m),且a⊥b,则向量a在a+b方向上的投影为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因为a⊥b,所以a·b=2×3+(-3)m=0,解得m=2,于是b=(3,2),从而a+b=(5,-1),
,因此向量a在a+b方向上的投影为
。故本题选A。
12. 设双曲线C:
的左右焦点分别为F
1,F
2若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF
1|=2|PF
2|,则双曲线C的离心率e的取值范围是______。
A.
B.(1,3]
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由题意得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,于是|PF2|=2a≥c-a,易得e≤3,因为双曲线的离心率e>1,所以离心率e的取值范围是(1,3]。故本题选B。
13. 在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,
,则∠ADB的最大值为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 如图,取AB的中点E,延长AB到点F,使得BF=CD,连接CE,CF,DB。设CD=a,则AB=2a,
,AE=BE=BF=a,由几何关系,易知AD=EC,BD=FC,设AD=EC=m,BD=FC=n。在△CEB中,由余弦定理,得
;在△BCF中,由余弦定理,得
,于是m
2+n
2=8a
2。在△ADB中,
,因为2mn≤m
2+n
2=8a
2,所以
,因此∠ADB的最大值为
。故本题选B。
14. 已知
,则a,b,c的大小关系为______。
- A.a<c<b
- B.a<b<c
- C.b<a<c
- D.b<c<a
A B C D
C
[解析]
,因为3
10=(3
2)
5>(2
3)
5=2
15,2
15=(2
5)
3>(5
2)
3=5
6,所以b<a<c。故本题选C。
15. 已知函数
(e是自然对数底数),方程f
2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有4个实数根,则t的取值范围为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 当x≥0时,f(x)=xe
x,因为f'(x)=(1+x)e
x>0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增;当x<0时,f(x)=-xe
x,令f'(x)=-(1+x)e
x=0,解得x=-1,
,易知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,画出函数的大致图像。令f(x)=a,若要使方程f
2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有4个实数根,则方程a
2+ta+1=0应有2个不等的实数根,且一个根在区间
上,另一个在区间
上。设g(a)=a
2+ta+1,则
,所以
,解得
。故本题选B。