一、单项选择题2. 曲线方程为
则曲线在
处的切线方程为______
A.y=1
B.y=x
C.
D.y=0
A B C D
A
[解析]
所以曲线在
处的切线斜率为
所以曲线在
处的切线方程为y=1.
二、填空题1. y=[ln(1+2x)]
2,则y'=______.
[解析]
2. 空间曲面x
2+2y
2+3z
3=6在点(1,1,1)处的切平面方程为______.
2x+4y+9z-15=0
[解析] 设F(x,y,z)=x2+2y2+3z3-6,则Fx=2x,Fy=4y,Fz=9z2,故
Fx(1,1,1)=2,Fy(1,1,1)=4,Fz(1,1,1)=9,
所以曲面在点(1,1,1)处的切平面方程为2(x-1)+4(y-1)+9(z-1)=0,即2x+4y+9z-15=0.
3. 微分方程cosydy=sinxdx的通解为______.
siny=-cosx+C
[解析] 方程两边积分得siny=-cosx+C.
4. 已知
收敛,故
2
[解析] 因为级数
收敛,由级数收敛的必要条件知
所以
三、计算题(共70分)1. 求
解:
2. 求
解:
3. 求幂级数
的收敛区间.
解:令x-4=t,则原级数为
因为
故级数
的收敛半径为3,即-3<t<3,则-3<x-4<3,所以1<x<7,故原级数的收敛区间为(1,7).
4. 函数y=2e
x+e
-x是否有极值?如果有,是极大值还是极小值?
解:函数y的定义域为(-∞,+∞).y'=2e
x-e
-x,
令y'=0,得
当
时,y'<0;当
时,y'>0,
所以
为函数的极小值点,极小值
5. 求二重积分
区域D为2≤x
2+y
2≤4.
解:积分区域D在极坐标系下可表示为
所以二重积分
6. 求不定积分
解:
7. 函数y=(1+2x)
sinx,求y'.
解:y=(1+2x)
sinx两边取自然对数得lny=sinx·ln(1+2x),
等式两边同时对x求导得
所以
8. 求曲线y=2-x
2和直线y-2x=2所围成的图形面积.
解:联立
解得交点为(0,2),(-2,-2),如图所示,则所围图形的面积为
9. 计算曲线积分∫
L(x
3-3y)dx+(4y
3-2x)dy,曲线L为曲线
上从点A(-2,0)到点B(2,0)的一段弧.
解:连接A、B两点,方向从A到B,记这个方向的直线段为L',则-L与L'构成一个半圆形闭区域D,-L+L'是D的边界,方向为正向,又
故由格林公式知
在L'上:y=0,x从-2到2,则有
所以
故
10. 已知向量组a
1=(1,2,3,4)
T,a
2=(1,-1,6,-5)
T,a
3=(-2,-1,-9,1)
T,α
4=(1,2,7,2)
T.求a
1,a
2,a
3,a
4的秩,以及它的最大线性无关组,并且用最大线性无关组来表示其他向量.
解:
所以R(A)=3,故向量组a
1,a
2,a
3,a
4的秩为3.
a
1,a
2,a
4为向量组a
1,a
2,a
3,a
4的一个最大线性无关组,a
3=-a
1-a
2+0a
4.
11. 已知线性方程组
当λ为何值时,方程组有解?并求其通解.
解:方程组的增广矩阵
故当λ=1时,R(A)=R(B),方程组有解,此时
同解方程组为
令x
1=k,故通解为