一、单项选择题4.
的收敛半径为______
A.3
B.2
C.4
D.
A B C D
B
[解析] 由于
故收敛半径R=2.
二、填空题1. 已知f'(x
0)=-1,则
1
[解析]
2.
的拐点坐标是______.
(1,1)
[解析] f(x)的定义域为(-∞,-∞),
当x=1时,f''(x)不存在,此时f(1)=1;当x>1时,f''(x)<0;当x<1时,f''(x)>0,故f(x)的拐点坐标为(1,1).
3. a=4i-j+k,b=2i-2j+λk,a⊥b,则λ=______.
-10
[解析] a={4,-1,1},b={2,-2,λ},由a⊥b可知a·b=0,即4×2-1×(-2)+λ=0,解得λ=-10.
4. 已知矩阵
a
i≠0,b
i≠0,i=1,2,…,n,则R(A)=______.
1
[解析] 由于矩阵A的任意两行(或两列)都对应成比例,则R(A)≤1;又ai≠0,bi≠0,即A为非零矩阵,R(A)≥1,故R(A)=1.
5. 已知行列式
的代数余子式A
12=-1,则A
21=______.
2
[解析]
三、判断题1. 若
则f(0)=0.
对 错
B
[解析] 由
只能得到
由于函数在一点处的极限与函数在该点处的值之间没有必然联系,故无法得到f(0)=0.
2. 已知y=arcsin(2x+1),则
对 错
A
[解析]
3.
故级数
收敛.
对 错
B
[解析] 一般项的极限趋于0是级数收敛的必要而非充分条件,例如级数
满足
但调和级数
发散,故该命题错误.
4. A为n阶方阵,则|A|=1
A=E.
对 错
B
[解析] 当A为n阶方阵,A=E
|A|=1,但反之不成立,例如
则|A|=1,但A≠E,故该命题错误.
5. A,B为n阶方阵,若(A+B)和(A-B)均可逆,则A,B都可逆.
对 错
B
[解析] 反例:当A为n阶单位矩阵,B为n阶零矩阵,(A+B)=A和(A-B)=A均可逆,但显然B不可逆,故该命题错误.
四、计算题(1~8小题每小题6分,第9小题12分)1. 求
与x=4,以及x轴所围成图形的面积以及该图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
解:所围平面图形如图所示,则所求平面图形的面积
所求旋转体的体积
2. 已知f(x-1)=af(x),f'(0)=b,求f'(1).
解:当a=0时,f(x-1)=0,则f(x)=0,故
当a≠0时,
令x=1,有
综上可得,
3.
其中L为圆域x
2+y
2≤a
2(a>0)的正向边界曲线,求a为多少时I值最大?
解:记P=y
3,Q=3x-x
3,区域D={(x,y)|x
2+y
2≤a
2},
则由格林公式得
I'(a)=6π(a-a
3),令I'(a)=0,得I(a)在(0,+∞)内的唯一驻点a=1,
I''(a)=6π(1-3a
2),I''(1)=-12π<0,故a=1为I(a)的极大值点.
由于该曲线积分确实存在最大值,故a=1也为最大值点,即a=1时,I最大.
4. 求微分方程xy'+y-sinx=0的通解.
解:微分方程变形为
是一阶线性微分方程,则通解为
5. 已知函数z=z(x,y)由方程e
x-y·sin(x+z)=0所确定,求dz.
解:令 F (x,y,z)= e
x-y·sin(x+z),则
F
x=e
x-y[sin(x+z)+cos(x+z)],
F
y=-e
x-y·sin(x+z),
F
z=e
x-y·cos(x+z),
当F
z≠0时,
故
6. 判断级数
的敛散性.
解:
7. 求极限
解:
8. 求
D由直线y=x,y=1及x=0所围成.
解:积分区域D如图所示.由于被积函数x
2e
-y2关于y的原函数无法用初等函数表示出来,故选择先对x后对y积分,则
证明题:9. f(x)在[a,b]上连续,证明:对于任意的正整数λ,至少存在一点x
0∈[a,b],使
证:令
x∈[a,b],因为f(x)在[a,b]上连续,所以F(x)在[a,b]上连续.又
当F(a)·F(b)=0时,即
此时存在x
0=a或x
0=b,使
当F(a)·F(b)<0时,由零点定理知,至少存在一点x
0∈(a,b),使F(x
0)=0,即
综上可知,至少存在一点x
0∈[a,b],使
10. 若f(x)>0恒成立,证明使第1小题中等式成立的x
0是唯一的.
证:当f(x)>0时,
F'(x)=f(x)+λf(x)=(1+λ)f(x)>0,
即F(x)在[a,b]上单调增加,从而F(x)=0在[a,b]上至多有一个根.
结合第1小题的结论,F(x)=0在[a,b]上仅有一个实根,即存在唯一的x
0∈[a,b],使得
成立.