一、单项选择题(在四个备选答案中选出一个正确答案。)4. 设函数f(x)在x
0处可导,且
则f'(x
0)=______
A.
B.
C.2
D.-2
A B C D
A
[解析]
所以
5. 以下选项正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 当
时,x≥sinx,故
当0≤x≤1时,x≥x
2,e
-x≤e
-x2,故
当3≤x≤4时,lnx<(lnx)
2,故
6. 在空间直角坐标系下,x
2-y
2=1表示的二次曲面是______
A B C D
C
[解析] 双曲柱面方程:
椭圆柱面方程:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
在空间直角坐标系下,方程x
2-y
2=1表示的是双曲柱面,故选C.
二、填空题1. 若y=2e
x-x
2+x+1,则y
(520)=______.
2ex
[解析] 因为(ex)(n)=ex,(xm)(n)=0(n>m),所以y(520)=2ex.
2. 函数
的定义域为______.
{(x,y)|xy≥-3,且xy≠0}
[解析] 要使函数z有意义,应满足
解得函数的定义域为{(x,y)|xy≥-3,且xy≠0}.
3. 设D:2≤x
2+y
2≤4,则
2π
[解析]
其中S
D表示区域D的面积.
4.
[解析]
5.
f(x)+C
[解析] ∫df(x)=∫f'(x)dx=f(x)+C.
6.
arctanx
[解析]
7.
0
[解析] 由于x
2sinx是对称区间[-1,1]上的奇函数,故
8. 微分方程y''+3y'+2y=0的通解为______.
y=C1e-x+C2e-2x
[解析] 微分方程对应的特征方程为r2+3r+2=0,解得特征根为r1=-1,r2=-2,故原方程的通解为y=C1e-x+C2e-2x.
9. 已知
则A
-1=______.
[解析]
10.
8
[解析]
三、计算题(每小题6分,共54分)1. 求极限
解:
2. 已知
解:
3. 函数y=y(x)由方程x
2e
y=x-siny
2所确定,求
解:方程两边对x求导得2xe
y+x
2e
y·y'=1-cosy
2·2yy',
解得
4. 求解微分方程
解:分离变量得sinxdx=eydy,
两边积分得∫sinxdx=∫eydy,
解得-cosx+C=ey,
故所求方程的通解为cosx+ey=C.
5. 计算二重积分
其中D:0≤x≤1,0≤y≤1.
解:
7. 求过点(1,2,3)且与平面3x-2y+z=0平行的平面方程.
解:由题意可知已知平面3x-2y+z=0的法向量为{3,-2,1},因为所求平面与已知平面平行,所以所求平面的法向量可取为n={3,-2,1}.
又因所求平面过点(1,2,3),故所求平面方程为3(x-1)-2(y-2)+(z-3)=0,
即3x-2y+z-2=0.
8. 已知
解:
9. 设函数f(x,y,z)=sin(xy
2+z),求f
x(1,1,-1),f
y(1,1,-1),f
z(1,1, -1).
解:fx(1,1,-1)=[cos(xy2+z)·y2]|(1,1,-1)=1,
fy(1,1,-1)=[cos(xy2+z)·2xy]|(1,1,-1)=2,
fz(1,1,-1)=[cos(xy2+z)·1]|(1,1,-1)=1.
四、证明题(6分)1. 证明方程e
x+sinx-2=0在区间(0,1)内至少有一个实根.
证:令f(x)=ex+sinx-2,则f(x)在区间[0,1]上连续,
又f(0)=-1<0,f(1)=e+sin1-2>0,f(0)·f(1)<0,
故由零点定理可知至少存在一点ξ∈(0,1),使得f(ξ)=0,
即方程ex+sinx-2=0在区间(0,1)内至少有一个实根.