银符考试题库B12
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福建省专升本考试高等数学2021年真题
第一部分 选择题
一、单项选择题
(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)
1. 点x=2是函数
的______
A.跳跃间断点
B.可去间断点
C.无穷间断点
D.振荡间断点
A
B
C
D
B
[解析] 由于f(x)在x=2处无定义且
,故x=2是f(x)的可去间断点.
2. 当x→0时,1-cosx是sinx
2
的______
A.高阶无穷小
B.低阶无穷小
C.等价无穷小
D.同阶非等价无穷小
A
B
C
D
D
[解析]
,故当x→0时,1-cosx与sinx
2
是同阶非等价无穷小.
3. 函数y=sinx存在反函数的区间是______
A.[0,π]
B.[-π,π]
C.
D.(-∞,+∞)
A
B
C
D
C
[解析] 由于y=sinx在
上是单调的,故y=sinx在
上有反函数.
4.
=______
A.e
-2
B.e
2
C.e
-3
D.e
3
A
B
C
D
C
[解析]
5. 已知函数y=2
-x
+ln3,则
=______
A.-2
-x
ln2
B.2
-x
ln2
C.
D.
A
B
C
D
A
[解析] 由题意知
.
6. 已知函数
,则f(x)在(-∞,+∞)内______
A.单调增加,无拐点
B.单调增加,有拐点
C.单调减少,无拐点
D.单调减少,有拐点
A
B
C
D
B
[解析]
,由于f'(x)在(-∞,+∞)内恒大于0,故f(x)在(-∞,+∞)内单调增加,又x=0是f"(x)不存在的点,且当x∈(-∞,0)时,f"(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f"(x)<0,当x=0时,f(x)=0,故(0,0)是f(x)的拐点.
7. 已知函数f(x)=|x|,则f(x)在点x=0处______
A.不可导,有极小值
B.可导,有极小值
C.不可导,有极大值
D.可导,有极大值
A
B
C
D
A
[解析] 由题意知f(x)在x=0处连续,且f(0)=0,
,
,故
,f(x)在x=0处不可导,又由f(x)=|x|的图形知x=0为极小值点,故选A.
8. 若不定积分∫f(x)dx=xe
x
+C,则∫f(2x)dx=______
A.2xe
2x
+C
B.2xe
x
+C
C.xe
x
+C
D.xe
2x
+C
A
B
C
D
D
[解析]
.
9. 微分方程y"+5y'+6y=0的通解是______
A.y=C
1
e
-3x
+C
2
e
-2x
B.y=C
1
e
-3x
+C
2
e
2x
C.y=C
1
e
3x
+C
2
e
-2x
D.y=C
1
e
3x
+C
2
e
2x
A
B
C
D
A
[解析] 方程对应的特征方程为r
2
+5r+6=0,解得r
1
=-3,r
2
=-2,故原方程通解为y=C
1
e
-3x
+C
2
e
-2x
.
10. 空间两点A(2,1,0)和B(1,-1,2)的距离等于______
A.1
B.2
C.3
D.4
A
B
C
D
C
[解析]
,故A、B两点间的距离为3.
第二部分 非选择题
二、填空题
1. ∫(sinx+cosx)
2
dx=______.
[解析]
2.
=______.
0
[解析] 当x→∞时,sinx为有界变量,
.
3. 函数
的单调递减区间是______.
(1,2)
[解析] 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=6x
2
-18x+12=6(x-2)(x-1),令f'(x)<0,解得1<x<2,故f(x)的单调递减区间为(1,2).
4. 若
,则dy=______.
[解析]
5. 函数y=|x|+x的值域为______.
[0,+∞)
[解析] 当x>0时,y=|x|+x=x+x=2x>0;当x≤0时,y=|x|+x=-x+x=0,故y的值域为[0,+∞).
6. 微分方程y'=10x满足初始条件y|
x=1
=6的特解是______.
y=5x
2
+1
[解析] 对方程两边分离变量得dy=10xdx,两边积分得通解为y=5x
2
+C,又y|
x=1
=6,故6=5+C,解得C=1,所以特解为y=5x
2
+1.
三、计算题
(每小题8分,共48分.)
已知函数y=y(x)是由方程xe
-y
-1=0所确定.
1. 求
;
解:方程xe
-y
-1=0两边对x求导得
整理得
,则
;
2. 求过点M(1,0)的切线方程.
解:由第一小题得
,故所求切线的斜率为
,
故切线方程为y-0=1·(x-1),即y=x-1.
3. 求极限
.
解:
.
设空间两点A(2,1,1)和B(3,3,4),求:
4. 过A、B两点的直线方程l;
解:由题意知
,故可取所求直线的方向向量为{1,2,3},
故直线l的方程为
;
5. 过A点且垂直于直线l的平面π的方程.
由直线l垂直于平面π知,可取直线的方向向量为π的法向量,
故平面π的方程为1·(x-2)+2·(y-1)+3·(z-1)=0,即x+2y+3z-7=0.
6. 求定积分
.
解:
7. 若函数
在点x=0处连续,求k的值.
解:由于f(x)在x=0处连续,故
·
又
,f(0)=2k+1,故k=0.
8. 求微分方程y'+y=2的通解.
解:方程为一阶非齐次线性微分方程,由通解公式得
四、应用题
(第1题10分,第2题12分,共22分.)
设曲线
与x轴所围成的封闭图形为D,求:
1. D的面积;
所求图形的面积为
;
2. D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
所求旋转体的体积为
设函数f(x)=xlnx,
3. 求极限
;
4. 求函数f(x)的单调区间;
由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),且
,
令f'(x)=0,解得
.
当
时,f'(x)<0;当
时,f'(x)>0,
故f(x)的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
5. 若方程f(x)=k恰有一根,写出k的取值范围.
方程f(x)=k恰有一根等价于曲线f(x)与直线y=k仅有一个交点.
当x∈(0,1)时,f(x)先减后增且f(x)<0,
由于
是f(x)唯一极小值点,故也是f(x)的最小值点,且最小值为
.
故当
时,曲线f(x)与直线
仅有一个交点,
当
时,曲线f(x)与直线y=k有两个交点,
又当x∈[1,+∞)时,f(x)单调增加,且f(x)≥0,
故当k∈[0,+∞)时,曲线f(x)与直线y=k仅有一个交点.
所以当k的取值范围为
时,方程f(x)=k恰有一个实根.
第一部分 选择题一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第二部分 非选择题二、填空题
1
2
3
4
5
6
三、计算题
1
2
3
4
5
6
7
8
四、应用题
1
2
3
4
5
深色:已答题 浅色:未答题
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