银符考试题库B12
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福建省专升本考试高等数学2022年真题
第一部分 选择题
一、单项选择题
(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)
1. 函数
的定义域是______
A.[-3,2]
B.[-3,2)
C.(-3,2]
D.(-3,2)
A
B
C
D
D
[解析] 要使函数y有意义,须满足
解得-3<x<2,即函数y的定义域为(-3,2).
2. 当x→0时,下列函数是无穷小量的是______
A.2
x
B.
C.
D.
A
B
C
D
B
[解析] A项,
;B项,
;C项,
不存在;D项,
.故选B.
3. 极限
=______
A.0
B.
C.2
D.∞
A
B
C
D
B
[解析]
4. x=1是函数
的______
A.可去间断点
B.跳跃间断点
C.第二类间断点
D.连续点
A
B
C
D
A
[解析] 当x=1时,函数
没有意义,故x=1是函数f(x)的间断点,
,故x=1是函数f(x)的可去间断点.
5. 设函数f(x)在x=1处可导,则
=______
A.
B.
C.-3f'(1)
D.3f'(1)
A
B
C
D
D
[解析]
6. 已知函数y=sin
2
(2x),则y'=______
A.2sin(4x)
B.2sin(2x)
C.sin(4x)
D.4sin(4x)
A
B
C
D
A
[解析] y'=[sin
2
(2x)]'=2sin(2x)·[sin(2x)]'=4sin(2x)·cos(2x)=2sin(4x).故选A.
7. 若
,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
A
B
C
D
C
[解析]
8. 曲线y=x
3
-3x
2
的拐点坐标为______
A.(0,0)
B.(-1,-4)
C.(1,-2)
D.(2,-4)
A
B
C
D
C
[解析] 函数的定义域为(-∞,+∞).y=x
3
-3x
2
,y'=3x
2
-6x,y"=6x-6.令y"=0,解得x=1,当x<1时,y"<0;当x>1时,y">0,且当x=1时,y=-2,故该曲线的拐点为(1,-2).
9. 空间直角坐标系中点(2,-3,6)关于原点对称的点的坐标是______
A.(2,-3,-6)
B.(-2,3,-6)
C.(-2,3,6)
D.(-2,-3,-6)
A
B
C
D
B
[解析] 空间直角坐标系中点(x,y,z)关于原点对称的点是(-x,-y,-z),故点(2,-3,6)关于原点对称的点的坐标是(-2,3,-6).故选B.
10. 微分方程y"-y'-12y=0的通解为______
A.y=C
1
cos3x+C
2
sin4x
B.y=C
1
e
3x
+C
2
e
4x
C.y=C
1
e
-3x
+C
2
e
4x
D.y=C
1
e
3x
+C
2
e
-4x
A
B
C
D
C
[解析] 微分方程的特征方程为r
2
-r-12=0,解得特征根为r
1
=4,r
2
=-3,故该微分方程的通解为y=C
1
e
-3x
+C
2
e
4x
.故选C.
第二部分 非选择题
二、填空题
1. 设函数
,则f[f(0)]=______.
[解析] 由题意可得
.
2. 极限
=______.
e
-10
[解析]
3. 曲线y=x
2022
在x=1处的切线方程为______.
y=2022x-2021
[解析] y'=2022x
2021
,则该曲线在x=1处的切线斜率为y'|
x=1
=2022,且y(1)=1,则所求切线方程为y-1=2022(x-1),即y=2022x-2021.
4. 定积分
=______.
4
[解析] 在区间[1,1]上,
为奇函数,故
.
5. 已知函数
则
=______.
[解析]
.
6. 微分方程y'=4x
3
满足初始条件y|
x=0
=3的特解为______.
y=x
4
+3
[解析] 方程y'=4x
3
分离变量得dy=4x
3
dx,两边积分解得y=x
4
+C,将初始条件y|
x=0
=3代入可得C=3,故所求特解为y=x
4
+3.
三、计算题
(每小题8分,共48分.)
1. 求极限
.
解:
2. 若函数
在x=0处连续,求a的值.
解:因为函数f(x)在x=0处连续,则有
.又
则a=1.
3. 设函数y=y(x)由方程siny+y
2
-3x=0所确定,求dy.
解:等式两边同时对x求导得
,
解得
,则
.
4. 求不定积分
.
解:
已知一点A(1,1,-1),直线l:
.求:
5. 过点A且与直线l平行的直线方程;
解:由题意可取所求直线的方向向量为s={1,2,1},又直线过点A(1,1,-1),故所求直线方程为
;
6. 过点A且与直线l垂直的平面方程.
解:由题意可取所求平面的法向量为n={1,2,1},又平面过点A(1,1,-1),故所求平面方程为(x-1)+2(y-1)+(z+1)=0,即x+2y+z-2=0.
7. 求微分方程y'-xy=x的通解.
解:由一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得
四、应用题
(第1题10分,第2题12分,共22分.)
平面图形D是由曲线y=x
4
+1,直线x=1,x=0与y=0所围成的.求:
1. 平面图形D的面积;
平面图形D的面积
;
2. 平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积
已知y=e
x
-ex.
3. 求函数的单调区间和极值;
y'=e
x
-e,令y'=0得x=1.当x<1时,y'<0;当x>1时,y'>0.
则函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1),故函数在点x=1处取得极小值,极小值为y(1)=0,无极大值;
4. 求曲线的凹凸区间;
y"=e
x
,故y"在定义域内大于0,则曲线的凹区间为(-∞,+∞),没有凸区间;
5. 若y=e
x
-ex与f(x)=m有两个交点,求m的取值范围.
题目可转化为若y=f(x)有两个实根,求m的取值范围.
令F(x)=e
x
-ex-m,F'(x)=e
x
-e,由第一小题中结论可知F(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,且有极小值F(1)=-m,
若要满足题目要求,则F(1)<0,即-m<0,m>0.
第一部分 选择题一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第二部分 非选择题二、填空题
1
2
3
4
5
6
三、计算题
1
2
3
4
5
6
7
四、应用题
1
2
3
4
5
深色:已答题 浅色:未答题
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