一、单项选择题2. 微分方程
的通解为______
- A.y=Cex2
- B.y=ex2+C
- C.y=Cx2
- D.y=x2+C
A B C D
A
[解析] 题中微分方程分离变量得
两边同时积分得ln|y|=x
2+C
1,化简得y=Ce
x2.
5. 下列级数中收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] A项中,
不存在,故级数发散;B项中,
是调和级数,故发散;C项中,
故由莱布尼兹定理知级数收敛;D项中,
故由级数收敛的必要条件知级数发散,
二、填空题1. 极限
[解析]
2. 已知参数方程
[解析]
3. 函数f(x)在x=-1处连续,满足f(-1)=0且f'(-1)=1,则极限
1
[解析] f(x)在x=-1处连续且可导,又f(-1)=0,f'(-1)=1,所以
4. 已知连续函数f(x)满足
则f(x)=_______.
cosx-2sin1
[解析] 令
则f(x)=cosx+A,等式两边在[-1,1]上积分可得
移项并整理可得A=-2sin1,故f(x)=cosx-2sin1.
5. 设L是直线段y=x-2(0≤x≤2),则对弧长的曲线积分
[解析]
三、计算题(每小题8分,共80分)1. 求极限
解:
2. 求不定积分
解:
3. 设函数y=y(x)由方程x
2-xy+y
2+1=0所确定,求
解:方程两边同时对x求导得
整理得
4. 计算定积分
解:令
则x=t
2-1,dx=2tdt.当x=-1时,t=0;当x=0时,t=1,
故
5. 设函数z=f(x
2y,1+y),其中,具有连续二阶偏导数,求
解:
6. 求f(x,y,z)=x
2+ysinz在点P(1,2,0)处沿从点P(1,2,0)到点Q(2,3,
)的方向的方向导数.
解:f
x=2x,f
y=sinz,f
z=ycosz.
将点(1,2,0)代入得f
x(1,2,0)=2,f
y(1,2,0)=0,f
z(1,2,0)=2.
设点P到点Q的方向为l,
7. 计算二重积分
其中积分区域是由直线y=x和y=3x以及x=1所围成的闭区域.
解:积分区域如图所示,且积分区域D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤3x},故
8. 求对坐标的曲线积分
其中L是椭圆
L的方向为逆时针方向,
解:令P=y-x
2,Q=3x+y,
设D是L所围成的区域,则由格林公式得
其中S
D为区域D即椭圆的面积.
注:椭圆
的面积S=πab.
9. 将函数
展开成x的幂级数.
解:
10. 求微分方程y''-4y'+3y=e
2x的通解.
解:由题意可知对应的二阶常系数齐次微分方程的特征方程为r2-4r+3=0,解得r1=1,r2=3,
故所对应齐次微分方程的通解Y=C1ex+C2e3x,
因为f(x)=e2x中,λ=2不是特征方程的根,故可设微分方程的特解为y*=Ae2x,则
(y*)'=2Ae2x,(y*)''=4Ae2x.
代入原方程有4Ae2x-8Ae2x+3Ae2x=e2x,
解得A=-1,即y*=-e2x.
故所求通解y=y*+Y=C1ex+C2e3x-e2x.
四、应用题与证明题(每小题10分,共20分)1. 当0<a<b时,证明:arctanb-arctana<b-a.
证:
方法一 设y=arctanx-x(x>0).
故y=arctanx-x在(0,+∞)内单调递减.
又0<a<b,所以y(b)<y(a),即arctanb-b<arctana-a,
即arctanb-arctana<b-a.
方法二 设f(x)=arctanx,0<a<b,
可知f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
由拉格朗日中值定理可知,至少存在一点ξ∈(a,b),使得
即arctanb-arctana<b-a.
2. 求由曲线y=x
3与曲线y
2=x所围成的图形面积S以及绕着x轴旋转一周所得到的旋转体体积V.
解:所围图形如图所示,联立
解得两曲线的交点为(0,0),(1,1),故