第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知
等于______.
A.-2
B.-1
C.
D.1
A B C D
B
[解析] 先用复合函数求导,再求
.
因为
则
当x=2时,得
,故选B.
6. 设函数
则
等于______.
A B C D
D
[考点] 本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算.
[解析] 分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后,再进行判定.
因为
由于f(1-0)≠f(1+0),所以
不存在.故选D.
9. 由曲线y=-x
2,直线x=1及x轴所围成的面积S等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 此时的f(x)=-x
2<0,所以曲边梯形的面积
.因为
,所以选C.
10. 设f'(x)=cosx+x,则f(x)等于______.
A.
B.
C.sinx+x
2+C
D.sinx+2x
2+C
A B C D
B
[考点] 本题考查的知识点是已知导函数求原函数的方法.
[解析]
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1.
=______.
[解析] 用不定积分的性质求解.
2. 设x=tan(xy-x
2),则
=______.
[解析] z对x求偏导时应视y为常数,并用一元函数求导公式计算,即
3. 设函数y=x
5,则y(5)|
x=0=______.
4.
=______.
2π
[解析] 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质.
5. 设
,则
=______.
[考点] 本题考查的知识点是导数的概念、复合函数导数的求法及函数在某点导数值的求法.
[解析] 本题的关键之处是函数在某点的导数定义,由于导数的定义是高等数学中最基本、最重要的概念之一,所以也是历年试题中的重点之一,正确掌握导数定义的结构式是非常必要的.函数y=f(x)在点x
0处导数定义的结构式为
式中的“□”可以是Δx(或h),也可以是Δx(或h)的函数式,只要当Δx→0(或h→0)时,□→0,上式恒为f'(x
0).
例如:
所以只要结构式类似于导数在某点的定义,一定优先考虑化成导数的结构式,再进行求解.本题即为
再计算
,所以
.
如果直接将2-h代入f(x)得
,代入极限式,再用洛必达法则求其极限,也可得到同样的结果.
这里最容易犯的错误是将
写成f'(2),错误的原因是对导数定义的结构式理解错误.
6. 设
在x=0处的极限存在,但不连续,此时a≠______.
1.
[解析] 函数f(x)在x
0处存在极限但不连续的条件是
f(x
0-0)=f(x
0+0)≠f(x
0).
由于
所以只需a≠1.
7. 五人排成一行,甲、乙二人必须排在一起的概率P=______.
[解析] 本题的关键是将甲、乙二人看成一个整体与其他三人一起排列为
,注意甲、乙二人的排列为
,所以
.
8. 设函数
,则y'=______.
[解析] 用复合函数求导公式计算可得答案.注意ln2是常数.
9. 设y=arccosx,则y'=______.
10. 二元函数f(x,y)=x
2+y
2+xy+x+y的驻点是______.
[考点] 本题考查的知识点是多元函数驻点的概念和求法.
[解析] 因为
,两式相减得x-y=0,从而可得
.
三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)1. 计算
.
解:
[考点] 本题考查的知识点是“∞-∞”型不定式极限的计算.
[解析] 本题中的“∞-∞”型不定式为两个根式之差,一般需要先“有理化”,再根据具体情况约去“∞”因子或者直接计算.
2. 计算
,其中
解:
[考点] 本题考查的知识点是分段函数的定积分计算方法及用换元法去根号计算定积分.
[解析] 分段函数在不同区间内的函数表达式是不同的,应按不同区间内的表达式计算.
3. 设函数y=y(x)是由方程cos(xy)=x+y所确定的隐函数,求函数曲线y=y(x)过点(0,1)的切线方程.
解:解法1 直接求导法.等式两边对x求导,得
-sin(xy)·(y+xy')=1+y',
解得
解法2 公式法.设F(x,y)=cos(xy)-x-y,
所以
解法3 微分法.等式两边求微分,得
d[cos(xy)]=d(x+y),-sin(xy)(ydx+xdy)=dx+dy,
-[1+xsin(xy)]dy=[1+ysin(xy)]dx,
所以
当x=0时,由方程得y=1,则
,所以过点(0,1)的切线方程为
y-1=-(x-0),即x+y-1=0.
[考点] 本题考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法.
[解析] 本题的关键是由已知方程求出y',此时的y'中通常含有x和y,因此需由原方程求出当x=0时的y值,继而得到y'的值,再写出过点(0,1)的切线方程.
计算由方程所确定的隐函数y(x)的导数,通常有三种方法:直接求导法(此时方程中的y是x的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法(等式两边求微分).
4. 计算∫ln(1+x
2)dx.
解:
[考点] 本题考查的知识点是分部积分法.
5. 一枚5分硬币,连续抛掷3次,求“至少有1次国徽向上”的概率.
解:一枚5分硬币抛掷1次可能出现2种情况:正面或反面(国徽或字面),连续抛掷3次,共有
种可能情况.
设A={至少有1次国徽向上},则
={全部是字面向上},故
[考点] 本题考查的知识点是古典概型的概率计算.
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f'(x)的图像经过点(1,0)和(2,0)(如图所示).
6. 求极值点x
0的值;
解:在x=1处f'(1)=0,且x<1时,f'(x)>0;1<x<2时,f'(x)<0,可知x=1是极大值点,即x0=1.
[考点] 本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点,并以此确定函数的表达式.
7. 求a,b,c的值.
解:因为f'(1)=3a+2b+c=0,
f'(2)=12a+4b+c=0 (x=2时f'(2)=0),
f(1)=a+b+c=5,
由上面三式解得a=2,b=-9,c=12.
8. 设函数
,其中f(u)可导.证明:
.
解:本题需要注意的是f(u)是u的一元函数,而
是x,y的二元函数.
等式两边分别对x,y求导得
因此
9. 求由曲线y=2-x
2,y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
x.
解:由已知曲线画出平面图形为如图所示的阴影区域.
得交点坐标为(1,1),则
[考点] 本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算.
[解析] 本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形,然后再求其面积S.求面积的关键是确定对x积分还是对y积分.
确定平面图形的最简单方法是:题中给的曲线是三条,则该平面图形的边界也必须是三条,多一条或少一条都不是题中所要求的.
确定对x积分还是对y积分的一般原则是:尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示.本题如改为对y积分,则有
计算量显然比对x积分的计算量要大,所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键.
在求旋转体的体积时,一定要注意题目中的旋转轴是x轴还是y轴.
由于本题在x轴下面的图形绕x轴旋转成的体积与x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体的体积重合了,所以只要计算x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体体积即可.如果将旋转体的体积写成
则有
两者之差为
,恰为x轴下面的三角形图形绕x轴旋转一周的旋转体体积