第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且
,则f'(x)等于______.
A.2e
-2x+3
B.
C.-e
-2x D.-2e
-2x A B C D
D
[考点] 本题考查的知识点是:
是定值,其导数应为零.
4. 若
,则dy等于______.
A.
B.
C.e
xdx
D.e
xlnxdx
A B C D
A
[解析] 本题可用dy=y'dx求得选项为A,也可以直接求微分得到dy.
9.
=______.
A.0
B.e-1
C.2(e-1)
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算.
注意到被积函数是偶函数的特性,可知
所以选C.
10. 如图所示的f(x)在区间[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形的面积S等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 注意到定积分的几何意义是曲边梯形的面积,而面积不能为负值,因此所有的f(x)必须为正值,则有
如果分段积分,也可以写成:
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. ∫xd(cosx)=______.
xcosx-sinx+C.
[解析] 用分部积分法积分.
∫xd(cosx)=xcosx-∫cosxdx=xcosx-sinx+C.
2.
=______.
ln|x+1|-ln|x+2|+C.
[考点] 本题考查的知识点是有理分式的积分法.
[解析] 简单有理函数的积分,经常将其写成一个整式与一个分式之和,或写成两个分式之和(如本题),再进行积分.
3. 设函数y=x
2lnx,则y
(5)=______.
[解析] 先求y',y",y"',再求y
(4)及y
(5).
4. 设y=y(x)由方程x
2+y
2+xy=1确定,则
=______.
[解析] 利用隐函数求导公式或直接对x求导.
将等式两边对x求导(此时y=y(x)),得
2x+2yy'+y+xy'=0,
解得
5. 已知f'(sinx)=cos
2x,则f(x)=______.
[考点] 本题考查的知识点是导数的概念及积分变量的概念.
[解析] 求解本题的关键是正确理解f'(sinx)的概念.
因此
则df(sinx)=cos
2xd(sinx)=(1-sin
2x)d(sinx).
等式两边积分得
换元后则有
如果直接将f'(sinx)中的变量sinx换成u,则有
f'(u)=1-u
2,即f'(x)=1-x
2,
再积分,其结果也一样,但前面的解法可以加深对积分变量的理解.
6. 若
,则a=______.
1.
[解析] 被积函数的前一部分是奇函数,后一部分是偶函数,因此有
解得a=1.
7. 设函数f(x)=lnx,则
=______.
e-1-e-2
[考点] 本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算.
[解析] 因为
,则
,所以
注意:f'(e
x)dx≠df(e
x).
8. 当x→0时,ln(1+ax)(a≠0)是2x的同阶但不等价无穷小量,则a≠______.
2.
[解析] 利用同阶无穷小量的定义确定a值.
9. 已知z=x
y,则
=______.
0.
[解析] 本题的关键是对y求偏导时应用指数函数求导公式,即
,所以
10. 设f(x)=e
x,g(x)=x
3,则
=______.
.
[考点] 本题考查复合函数的概念及求导.
[解析] 因为
所以
三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)1. 求函数
在条件2x+y=5下的极值.
解:设
,则令
由①与②消去λ得x=2y,代入③得4y+y-5=0,解得y=1,则x=2,所以
为极值.
注意:不能用二元函数无条件极值的充分条件来判定
是极大值还是极小值.但是根据极值是局部性质且只有一个驻点,因此可在约束条件2x+y=5中任取另一点,如取点(1,3),则得
,从而可以判定
是极小值.(此方法知道即可.)
[考点] 本题考查的知识点是条件极值的计算.
[解析] 计算条件极值的关键是构造拉格朗日函数.在求驻点的过程中通常都将参数λ消去.
2. 计算
解:解法1
解法2 三角代换去根号.
设x=sint,dx=costdt,则
[考点] 本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法.
[解析] 本题被积函数的分子为二项之差,一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分.另外由于被积函数中含有根式,所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分.
3. 设函数f(x)=x-lnx,求f(x)的单调区间和极值.
解:函数的定义域为{x|x>0}.
因为
,令f'(x)=0,得x=1.又
所以当x>1时f'(x)>0,函数f(x)的单调增加区间为(1,+∞);当0<x<1时f'(x)<0,函数f(x)的单调减少区间为(0,1).f(1)=1为其极小值.
[考点] 本题考查的知识点是利用导数判定函数的单调性并求其极值.
4. 设函数
在x=0处连续,求常数a和b的值.
解:因为
所以a=b=4.
[考点] 本题考查的知识点是函数在点x0处连续的充要条件f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0).
5. 计算
.
解:解法1 设
,则x=t
2-1,dx=2tdt.
当x=0时,t=1;当x=3时,t=2.则
解法2
解法3 将分子写成
后直接得
以下步骤同解法2.
[考点] 本题考查定积分的常规求解方法.
[解析] 用换元法去根号再积分.也可以将分母有理化后再积分.
6. 设函数
,求dy.
解:先求y',再求dy.
因为
所以
[考点] 本题主要考查商的导数计算.
7. 建一比赛场地面积为Sm
2的排球场馆,比赛场地四周要留下通道,南北各留出am,东西各留出bm,如图所示.求铺设的木地板的面积为最少时(要求比赛场地和通道均铺设木地板),排球场馆的长和宽各为多少?
解:设排球场馆的长和宽分别为x和y,其面积为A=xy.如图所示.
比赛场地的面积为S=(x-2b)(y-2a),则
由于只有唯一驻点,根据题意可知长为
,宽为
时的场馆面积为最小(即所铺地用的木地板面积为最少).
[考点] 本题考查运用导数知识解决实际问题的能力.
8. 当x>0时,证明:e
x>1+x.
证:设f(x)=ex-1-x,则f(0)=0.因为f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)是单调增加函数.即x>0时,f(x)>f(0),即ex-1-x>0,所以ex>x+1.
[考点] 本题考查的知识点是用函数的单调性证明不等式的方法.
[解析] 通常情况下是将不等式写成一个函数f(x)=ex-x-1,证明f'(x)>0(或f'(x)<0),再根据单调性知,f(x)>f(0)=0.