第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设函数
,则f(x)有______.
A.极大值
B.极大值
C.极小值
D.极小值
A B C D
D
[考点] 本题主要考查极限的充分条件.
[解析] 本题可以先积分,求出f(x),然后再求其极值.最简捷的方法是利用变上限定积分先求出f'(x)=x-1,f"(x)=1>0,所以f(x)有极小值
,所以选D.
4. 设f(x)为连续函数,则
等于______.
A.
B.
C.
D.f(2)-f(0)
A B C D
B
[考点] 本题考查考生对微分、积分的基础知识和换元积分法的掌握情况.
[解析] 本题的关键之处是对
的正确理解,函数f(x)对x求导时为f'(x),而当函数为f[u(x)]的形式时,f'(u)表示对u的导数而不是对x的导数,而根据微分式af(x)=f'(x)dx以及微分形式的不变性:af(u)=f'(u)du,其中u可以是自变量x,也可以是x的函数u(x),所以
,将
写成
是最常见的错误.根据前面的分析,有
,原式即为
,所以选B.
如果用换元法,令
,则
,注意到积分的上、下限应跟着一起换,则有
所以选B.
5. 设函数f(x)=x
3+e
3+3
x,则f'(x)等于______.
A.3x
2+3
xln3
B.3x
2+3e
2+x·3
x-1 C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式.
[解析] 只需注意e3是常数即可.
7. 设
,则y'=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式.
[解析] 因为
所以选D.
8. 设函数z=x
2+y
2,则点(0,0)______.
- A.不是驻点
- B.是驻点但不是极值点
- C.是驻点且是极大值点
- D.是驻点且是极小值点
A B C D
D
[考点] 本题考查的知识点是二元函数的无条件极值.
[解析] 因为
,则点(0,0)为驻点,且
由于B
2-AC=-4<0,且A=2>0,所以点(0,0)为极小值点.
10. 若函数y=f(x)有
,则当Δx→0时,该函数在x=x
0处的微分dy等于______.
A.2dx
B.
C.dx
D.0
A B C D
B
[解析] 利用微分的表达式来确定选项.
因为
,故选B.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 由曲线y=x和y=x
2围成的平面图形的面积S=______.
[解析] 画出平面图形如图阴影部分所示,则
2. 设函数
在x=0处连续,则a=______.
[解析] 利用函数在点x
0连续的定义
,则有
3. 设函数f(x)=x
2+1,则f(x)的极小值为______.
1.
[考点] 本题考查的知识点是函数f(x)的极值概念及求法.
[解析] 因为f'(x)=2x,令f'(x)=0,得x=0.又因为f"(x)|x=0=2>0,所以f(0)=1为极小值.
4. 若x=0是函数y=sinx-ax的一个极值点,则a=______.
1.
[考点] 本题考查的知识点是极值的必要条件.
[解析] 若x0是f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f'(x0)=0.
因刺有y'|x=0=(cosx-a)|x=0=0,得a=1.
5. 设z=ln(xy),则
=______.
0
[解析] 用对数函数的性质化简得z=lnx+lny,再求偏导得
6. 设函数
在x=0处的极限存在,则k=______.
e-2.
[解析] 利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件,可知k=e
-2.
因为
所以本题只要分别计算:
,
所以k=e
-2.
7. 设y=ln(x+cosx),则y'=______.
[解析] 用复合函数求导公式计算.
8. 已知y=xe
-2x,则y"=______.
4(x-1)e-2x.
[解析] 求出y',化简后再求y"更简捷.
y'=e-2x-2xe-2x=(1-2x)e-2x,
y"=-2e-2x-2(1-2x)e-2x=4(x-1)e-2x.
9. 已知P(A)=0.8,P(B|A)=0.5,则P(AB)=______.
0.4.
[考点] 本题考查的知识点是乘法公式.
[解析] P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.5=0.4.
10. 设函数f(x)在区间[0,4]上连续,而且
,则f(2)=______.
4.
[考点] 本题考查的知识点是变上限定积分的求导.
[解析] 首先应用变上限的导数求出f(x),然后求出f(2)的值.
对x求导得f(x)=2x,即f(2)=4.
三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)1. 计算
.
解:
如果用换元积分法,令e
x-1=t进行计算,没有用凑微分法简捷,考生可自行练习.
[考点] 本题考查的知识点是定积分的换元积分法或凑微分法.
[解析] 换元时一定要将积分的上、下限换成新的变量的上、下限.
2. 计算
.
解:
注意:若用等价无穷小量代换更为简捷:
[考点] 本题考查的是
型不定式极限的概念及相关性质.
[解析] 含变上限的
型不定式极限直接用洛必达法则求解.
3. 设z=z(x,y)由方程e
z-x
2+y
2+x+z=0确定,求dz.
解:解法1 直接求导法.
等式两边对x求导得
解得
等式两边对y求导得
解得
则有
解法2 公式法.
设F(x,y,z)=e
z-x
2+y
2+x+z.
因为
则
所以
解法3 微分法.
对等式两边求微分得
d(e
z)-d(x
2)+d(y
2)+d(x+z)=0,
e
zdz-2xdx+2ydy+dx+dz=0,
解得
三种解法各有优劣,但公式法更容易理解和掌握.建议考生根据自己的熟悉程度,牢记一种方法.
[考点] 本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法.
[解析] 求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数
,然后代入公式
.而求
的方法主要有:直接求导法、公式法以及微分法.
在用直接求导法时考生一定要注意:等式e
z-x
2+y
2+x+z=0中的z是x,y的函数,对x(或y)求导时,式子z=z(x,y)中y(或x)应视为常数,最后解出
.
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数
F(x,y,z)=e
z-x
2+y
2+x+z,
然后将等式两边分别对x,y,z求导.考生一定要注意:对x求导时,y,z均视为常数,而对y或z求导时,另外两个变量同样也视为常数.也即用公式法时,辅助函数F(x,y,z)中的三个变量均视为自变量.
4. 设f(x)的一个原函数是e
-x,求∫xf'(x)dx.
解:由已知条件可知f(x)=(e-x)'=-e-x,
∫f(x)dx=e-x-C,∫xf'(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx,
所以∫xf'(x)dx=-xe-x-e-x+C.
[考点] 本题考查的知识点是分部积分法和原函数的概念.
5. 某旅游车的乘车人数限定为100人,票价p(单位:元)与乘车人数x满足
,试求乘车人数为多少时,所得的票款收入最多?此时的票价是多少?
解:设收入的票款为y,则有
令y'=0,得x
1=80,x
2=240(舍去).
当0<x<80时,y'>0;当80<x<100时,y'<0.
由于只有唯一驻点,所以当乘车人数x=80时,票款的收入y(80)为最多,此时的票价为
[考点] 本题考查的知识点是利用导数求解实际问题的最值.
[解析] 这类题目的关键是根据题意列出函数关系式并正确求出y'和y"(如果需要求y"时).如果y'与y"算错,则所有结果无一正确.
6. 设y=x
2·e
x,求y'.
解:y'=2x·ex+x2·ex.
[考点] 本题考查的知识点是函数乘积的导数计算.
7. 甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为0.6和0.8,求此密码被破译的概率.
解:设A=“甲破译密码”,B=“乙破译密码”,C=“密码被破译”,则C=A+B,所以
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.6+0.8-0.6×0.8=0.92.
需注意的是:如果题目改为求甲破译密码而乙未破译密码的概率,应为
.因为A与
也是相互独立的,则
.
[考点] 本题考查的知识点是事件相互独立的概念和概率的加法公式.
[解析] 本题的关键是密码被破译这一事件是指密码被甲破译或被乙破译,如果理解成甲破译密码且乙破译密码就错了!另外要注意:甲、乙二人破译密码是相互独立的.
8. 设事件A与B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求P(A+B).
解: 若事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.6+0.7-0.6×0.7=0.88.
[考点] 本题考查事件相互独立的概念及加法公式.