第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设
,则f(x)等于______.
- A.x3+3x-4
- B.x3+3x-3
- C.x3+3x-2
- D.x3+3x-1
A B C D
C
[考点] 本题考查的知识点是函数极限存在的概念.
[解析] 函数在某一点的极限存在,其极限值必为常数.本题的关键是设
,继而求出A值即可.
设
,则f(x)=x
3+3x-A.
对等式两边取极限:
即A=4-A,得A=2,所以f(x)=x
3+3x-2,选C.
如果注意到f(x)是基本初等函数,在定义区间内是连续的,则
,因此f(x)=x
3+3x-f(1),只需将x=1代入式中即可得f(1)=1+3-f(1),所以f(1)=2,可知选项C是正确的.
2. 已知f(x)=x+e
x,g(x)=lnx,则f[g'(x)]等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查的知识点是复合函数的概念及其求导计算.
[解析] 本题的关键是正确写出复合函数f[g'(x)]的表达式.
根据函数概念可知:
因为
,所以
故选B.
4. 设
,则∫f'(x)dx等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据不定积分的性质∫f'(x)dx=f(x)+C,故选C.
6. 设函数f(x)在点x
0处连续,则下列结论肯定正确的是______.
A.
B.
C.当x→x
0时,f(x)-f(x
0)不是无穷小量
D.当x→x
0时,f(x)-f(x
0)必为无穷小量
A B C D
D
[考点] 本题主要考查函数在一点处连续的概念及无穷小量的概念.
[解析] 函数y=f(x)在点x
0处连续主要有三种等价的定义:
还有一种就是连续的分析定义(ε-δ语言),已超纲,不作要求.
如果将第二个式子写成
,利用无穷小量的定义,可知:当x→x
0时,f(x)-f(x
0)为无穷小量,所以选D.
这里容易出错的是:很多考生认为选项A是正确的.如果
存在,则它等于f'(x
0),函数f(x)在点x
0处连续;但是反过来,若函数y=f(x)在点x
0处连续,f(x)不一定在点x
0处可导.产生这种错误的原因是基本概念不清.
7. 设f(x)的一个原函数是xlnx,则f(x)的导函数是______.
A.1+lnx
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据原函数的定义及导函数的概念,则有
所以选C.
8. 已知f(x)=e
x,则
等于______.
A.
B.1
C.
D.2
A B C D
B
[考点] 本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法.
[解析]
10. 设
,则
等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查的知识点是抽象函数
型极限存在的概念及意义.
[解析]
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 设y=x(x+1)(x+3),则y"=______.
6
[解析] 注意到y=x(x+1)(x+3)=x3+4x2+3x,则y"'=6.
2. 设函数y=ln(1+x
2),则dy=______.
[解析] 用复合函数求导公式求出y',再写出dy.
因为
所以
3. 定积分
=______.
4. 已知f(x,y)=x
2-y
2,则
=______.
0.
[考点] 本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法.
[解析]
5. 若f(x)=e
-x,则
=______.
[考点] 本题考查的知识点是积分变量的概念、定积分的性质及定积分的计算.
[解析] 因为f'(x)dx=df(x),
则有f'(2x)d(2x)=df(2x),
所以
注意:若将
换成新的变量u=2x,则积分的上、下限也要一起换成新变量u的上、下限.即
本题也可求出f'(x)=-e
-x,则f'(2x)=-e
-2x,再代入所求式子中,有
6. 曲线
的拐点坐标是______.
(2,1).
[考点] 本题考查的知识点是拐点的定义及求法.
[解析] 因为
,得x=2.当x=2时,y=1.
当x<2时,y"<0;当x>2时,y">0.所以点(2,1)是曲线
的拐点.
7. 设函数
,则函数的间断点是x=______.
0.
[考点] 本题考查的知识点是函数在一点间断的概念.
[解析] 因为
所以x=0为无穷间断点.
8. 设z=x
2y,则
=______.
2x2y-1(1+2ylnx).
[解析] z对x求偏导时用幂函数求导公式,z对y求偏导时用指数函数求导公式.
因为
,则
即
9. 设y=1+cos2x,则y'=______.
-2sin2x.
[解析] 用复合函数求导公式计算即可.
y'=-sin2x·(2x)'=-2sin2x.
10.
,则a=______.
1
[解析] 利用反常积分计算,再确定a值.
因为
即
,则有a=1.
三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)1. 求由曲线y=x,y=lnx及y=0,y=1围成的平面图形的面积S,并求此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V
y.
解:画出平面图形,如图所示的阴影部分,则有阴影部分的面积
[考点] 本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法.
[解析] 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形,然后根据此图形的特点选择对x积分还是对y积分.选择的原则是:使得积分计算尽可能简单或容易算出.本题如果选择对x积分,则有
这显然要比对y积分麻烦.
在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转.历年的试题均是绕x轴旋转,而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积.
旋转体的体积计算中最容易出现的错误是:
考生一定要牢记:V
x=V
2-V
1,即分别计算两个旋转体所成的旋转体体积之差.本题为
2. 求二元函数
的极值.
解:因为
由于
所以
则
所以,点(5,2)为极小值点,极小值为
[考点] 本题考查的知识点是二元函数无条件极值的求法.
[解析] 用二元函数无条件极值的方法求解.
3. 袋中有6个球,分别标有数字1,2,3,4,5,6.从中一次任取两个球,试求:取出的两个球上的数字之和大于8的概率.
解:设A={两个球上的数字之和大于8}.
基本事件总数为:6个球中一次取两个的不同取法为
;有利于A的基本事件数为:
(3,6),(4,6),(5,6),(4,5),
共4种,所以
[考点] 本题考查的知识点是古典概型的概率计算.
[解析] 古典概型的概率计算,其关键是计算:基本事件总数及有利于所求事件的基本事件数.
4. 计算
解:将被积函数分成两项,分别用公式法和分部积分法计算.
[考点] 本题考查的知识点是定积分的分部积分法.
5. 设f'(2)=1,求
.
解:解法1
解法2
[考点] 本题考查的知识点是
型不定式的极限求法.
[解析] 本题是抽象函数f(x)的
型不定式,所以用洛必达法则求解.如果注意到f(x)在x=2处可导,也可以利用导数定义求解.
6. 在曲线
上求一点M
0,使得图中阴影部分的面积S
1与S
2之和S=S
1+S
2为最小.
解:画出平面图形如图所示.设点M
0的横坐标为x
0,则S
1与S
2如图中阴影区域所示.
则
S为x
0的函数,将上式对xz。求导得
令S'=0,得
,所以
.
由于只有唯一的驻点,所以
,即点M
0的坐标
为所求.
[考点] 本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及极值的求法.
[解析] 本题的关键是设点M0的横坐标为x0,则纵坐标为y0=sinx0,然后用求曲边梯形面积的方法分别求出S1和S2,再利用S=S1+S2取极小值时必有S'=0,从而求出x0的值,最后得出M0的坐标.
这里特别需要提出的是:当求出S'=0的驻点只有一个时,根据问题的实际意义,该驻点必为所求,即S(x0)取极小值,读者无需再验证S"(x0)>0(或<0).这样做既可以节省时间,又可以避免不必要的计算错误.但是如果有两个以上的驻点,则必须验证S"(x<)与S"(x1)的值而决定取舍.
7. 设
,求y'.
解:
[考点] 本题考查的知识点是复合函数的求导计算.
[解析] 利用复合函数的求导公式计算.
8. 设z=z(x,y)由方程e
z-xy
2+sin(y+z)=0确定,求dz.
解:解法1 等式两边对x求导得
所以
等式两边对y求导得
所以
则有
解法2 设F(x,y,z)=e
z-xy
2+sin(y+z),则
所以
则有
解法3 对等式e
z-xy
2+sin(y+z)=0求微分得
d(e
z)-d(xy
2)+d[sin(y+z)]=0,
e
zdz-y
2dx-2xydy+cos(y+z)(dy+dz)=0,
[e
z+cos(y+z)]dz=y
2dx+[2xy-cos(y+z)]dy,
所以
[考点] 本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法.
[解析] 求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数
,然后代入公式
.而求
的方法主要有:直接求导法和公式法.
在用直接求导法时考生一定要注意:等式e
z-xy2+sin(y+z)=0中的z是x,y的函数,对x(或y)求导时,式子z=z(x,y)中y(或x)应视为常数,最后解出
.
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数
F(x,y,z)=e
z-xy
2+sin(y+z),
然后将等式两边分别对x(或y或z)求导.读者一定要注意:对x求导时,y,z均视为常数,而对y或z求导时,另外两个变量同样也视为常数.也即用公式法时,辅助函数F(x,y,z)中的三个变量均视为自变量.
在用公式法时最容易犯的错误是设F(x,y,z)=e
z-xy
2+sin(y+z)=0.如果写成F(x,y,z)=0,则必有
.这显然是错误的,其错误原因是写成F(x,y,z)=0的形式时,此时的z不是自变量而是z=z(x,y).
根据辅助函数F(x,y,z),用复合函数求偏导而得到公式
,公式中的是将x,y视为常数时F(x,y,z)对z的偏导数.
求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分,最后解出dz,这种方法也十分简捷有效,建议考生能熟练掌握.