第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2. 设函数f(x)=x
3,则
等于______.
A B C D
C
[考点] 本题考查的知识点是函数在任意一点x的导数定义.
[解析] 注意导数定义的结构式为
则
所以选C.
3. 设f(x)的一个原函数为lnx,则f(x)等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题考查的知识点是原函数的概念.
[解析] 因此有
所以选A.
5. 设函数y=f(u),u=φ(x),且f与φ均可导,则
等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查的知识点是复合函数的求导公式.
[解析] 根据复合函数求导公式,可知D正确.
需要注意的是:选项A错误的原因是f是x的复合函数,所以必须通过对中间变量求导后才能对x求导.
7. 设f(x)在[-1,1]上连续,则
等于______.
A.0
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题考查的知识点是定积分的换元积分法.
[解析]
如果审题不认真,很容易选A或B.由于函数f(x)的奇偶性不知道,所以选A或B都是错误的.
8. 下面等式正确的是______.
A.e
xsin(e
x)dx=sin(e
x)d(e
x)
B.
C.
D.e
cosxsinxdx=e
cosxd(cosx)
A B C D
A
[解析] 将式中的微分计算出来,比较左、右两边的式子,可知选项A正确.
9. 反常积分
等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查的知识点是反常积分的求解.
[解析]
选B.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1. 曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为______.
x+y-e=0.
[解析] 先求切线斜率,再由切线与法线互相垂直求出法线斜率,从而得到法线方程.
因为y'=lnx+1-1=lnx,y'|
x=e=1=k
切线,
则法线斜率
,得k
法=-1.
当x=e时,y=0,所以法线方程为
y=-(x-e),即x+y-e=0.
2. 设f(x)的导函数是sin2x,则f(x)的全体原函数是______.
[考点] 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念.
[解析] 因为f'(x)=sin2x而f(x)的全体原函数为∫f(x)dx,所以
则
3. 设f(x)=e
x,g(x)=x
2,则
=______.
[考点] 本题考查的知识点是函数概念及复合函数求导.
[解析] 注意到f(x)=e
x的结构式是f(变量)=e
(变量),因此
所以
4. 当x→0时,1-cosx与x
k是同阶无穷小量,则k=______.
2.
[解析] 根据同阶无穷小量的概念,并利用洛必达法则确定k值.
欲使其极限值为不为0的常数,只有k=2.所以填2.
5. 若
=______.
[解析] 本题是
型不定式.
6. 设y=ln(a
2+x
2),则dy=______.
[解析] 先求复合函数的导数,再求dy.
因为
,所以
7. ∫(2x+1)
3dx=______.
[解析] 凑微分后用积分公式.
8. 设y=e
-2x,则y"|
x=0=______.
4.
[解析] 先求y',再求y",然后将x=0代入y"即可.
因为y'=-2e-2x,y"=4e-2x,
所以y"|x=0=4.
9. 不定积分
=______.
应填
[解析] 凑微分后用积分公式计算即可.
10. 函数y=x-ln(1+x)的驻点为x=______.
0.
[考点] 本题考查的知识点是驻点的概念及求法.
[解析] 根据定义,使f'(x)=0的x称为函数f(x)的驻点,因此有
,得x=0.
故填0.
三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)1. 某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池,其容积是
,池底的材料30元/m
2,池壁的材料20元/m
2,问如何设计,才能使成本最低,最低成本是多少元?
解:设池底半径为r,池高为h(如图),则
,得
.又设制造成本为5,则
令S'=0,得驻点r=1.
因为
所以r=1为唯一的极小值点,即为最小值点.
所以,底半径为1m,高为
时,可使成本最低,最低成本为90π元.
[考点] 本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值.
[解析] 所谓“成本最低”,即要求制造成本函数在已知条件下的最小值.因此,本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式,再利用已知条件将其化为一元函数,并求其极值.
已知袋中装有8个球,其中5个白球,3个黄球.一次取3个球,以X表示所取的3个球中黄球的个数.2. 求随机变量X的分布列;
解:
所以随机变量X的分布列为
[考点] 本题考查的知识点是随机变量X的概率分布的求法.
[解析] 本题的关键是要分析出随机变量X的取值以及算出取这些值时的概率.
因为一次取3个球,3个球中黄球的个数可能是0个,1个,2个,3个,即随机变量X的取值为X=0,X=1,X=2,X=3.取这些值的概率用古典概型的概率公式计算即可.
3. 求数学期望E(X).
解:
注意:如果计算出的分布列中的概率之和不等于1,即不满足分布列的规范性,则必错无疑,考生可自行检查.
4. 计算
解:
注意:反常积分也可如下简记:
千万要注意的是:绝对不允许写成
,因为“∞”是一个符号,不能参加运算.
[考点] 本题考查的知识点是反常积分的计算.
[解析] 配方后用积分公式计算.
设随机变量X的分布列为
5. 求常数a;
解:因为0.2+0.3+a+0.4=1,所以a=0.1.
[考点] 本题考查的知识点是随机变量分布列的规范性及数学期望的求法.
[解析] 利用分布列的规范性可求出常数a,再用公式求出E(X).
6. 求X的数学期望E(X).
解:E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.1+4×0.4=2.7.
7. 已知函数f(x)=ax
3-bx
2+cx在区间(-∞,+∞)内是奇函数,且当x=1时f(x)有极小值
,求a,b,c.
解:因为f(-x)=-f(x),即
-ax
3-bx
2-cx=-ax
3+bx
2-cx.
得2bx
2=0对x∈R都成立,必有b=0.
由极值的必要条件:f'(1)=0,得3a-2b+c=0,解得
.
[考点] 本题考查的知识点是奇函数的概念、极值的概念及极值的必要条件.
[解析] 如果函数是一个m次多项式,且是奇(或偶)函数,则一定有偶次幂(或奇次幂)项的系数为0.再利用极值的必要条件及极值即可求出a,b,c.
8. 设函数
,求f'(x).
解:
[考点] 本题考查的知识点是导数的四则运算.
[解析] 用商的求导公式计算.
9. 在第一象限内的曲线
上求一点M
0(x
0,y
0),使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最短.
解:如图所示,因为
,所以切线方程为
,设切线与两坐标轴的交点分别为(a,0)(0,b),由切线方程可得
所截线段长度的平方为
上式两边对x
0求导得
令L'=0,得
由于只有唯一的驻点,所以
必为所求,所以点M
0的坐标为
[考点] 本题的关键是求出切线与坐标轴的交点.
10. 求
.
解:
考生需要注意这种题型的变化.由于
尽管其形式不一样,但它都可以直接化为重要极限的形式:
而
对于
,可以视为
的两个极限式相乘的形式.如果熟练掌握了重要极限的结构式,就可以很容易地求解与它们相关的题目了.
[考点] 本题考查的知识点是重要极限Ⅱ.
[解析] 对于重要极限Ⅱ:
它的结构式为
,式中的“□”既可以是x,又可以是x的函数,只要当x→x
0(或∞)时方块“□”→0,满足上述结构式的极限为e.例如:
利用重要极限的结构式很容易求解.