一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1. 当x→0时,比2x高阶的无穷小量为______
A.arcsinx
2 B.tanx
C.
D.e
2x-1
A B C D
A
[解析]
所以x→0时,arcsinx
2是2x的高阶无穷小.
7. 设f(x)是连续函数,且满足∫f(x)dx=F(x)+C,则下列等式成立的是______
A.∫f(3x-1)dx=F(3x-1)+C
B.∫f(e
x)e
xdx=F(e
x)+C
C.
D.∫f(x
2)dx=F(x
2)+C
A B C D
B
[解析] A项中,
;B项中,∫f(e
x)e
xdx=∫f(e
x)de
x=F(e
x)+C;C项中,
D项中,∫f(x
2)dx
2=F(x
2)+C.
8. 下列广义积分发散的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] A项中,
;B项中,
;C项中,
故只有A项发散.
9. 已知
,则下列正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
故选D.
10. 设
,则下列向量组线性相关的是______
- A.α1,α2,α3
- B.α1,α2,α4
- C.α1,α3,α4
- D.α2,α3,α4
A B C D
A
[解析]
因为r(α
1,α
2,α
3)=2<3,所以α
1,α
2,α
3线性相关;因为r(α
1,α
2,α
4)=3,所以α
1,α
2,α
4线性无关;因为r(α
1,α
3,α
4)=3,所以α
1,α
3,α
4线性无关;因为r(α
2,α
3,α
4)=3,所以α
2,α
3,α
4线性无关.
11. 盒中有12个大小相同的球,其中8个白球,4个黄球,抽两次球,一次抽一个不放回,则在第一次为白球的情况下,第二次还为白球的概率为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
方法一 第一次抽取的是白球的情况下,第二次去抽取的时候,盒中应该有11个球,7个白球,4个黄球,故第二次抽取时还为白球的概率为
.
方法二 记第一次取得白球为事件A,第二次取得白球为事件B,则由题意可知P(A)=
,两次都取白球的概率为
,故所求概率
二、填空题1.
e2
[解析]
3. 设函数f(u)可微,且f'(2)=1,则
在点(2,1)处的全微分dz|
(2,1)=______.
dx-2dy
[解析]
将点(2,1)与f'(2)=1代入得,
4. 行列式
中第四行第一列元素的代数余子式的值为______.
3
[解析] 第四行第一列元素的代数余子式为
5. 设A,B为两个随机事件,若P(A)=0.6,
,则P(A-B)=______.
0.3
[解析]
,则P(AB)=0.3,所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.6-0.3=0.3.
6. 设随机变量ξ服从参数λ=1的泊松分布,则关于x的方程x
2+4x+4ξ=0有实根的概率为______.
2e-1
[解析] 由题意可知泊松分布为
,若方程有实根,则要求根的判别式Δ=16-16ξ≥0,即ξ≤1,所以方程有实根的概率为
三、计算与证明题(本题共78分.解答应写出推理、演算步骤)1. 求极限
解:
2. 已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,且xf'(x)+2f(x)=0.证明:函数x
2f(x)在(0,+∞)内恒为常数.
证明:令F(x)=x2f(x),x∈(0,+∞),
F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
由于2f(x)+xf'(x)=0,所以F'(x)=0在x∈(0,+∞)恒成立,
故函数x2f(x)在(0,+∞)内恒为常数.
3. 计算定积分
4. 已知矩阵
,且矩阵X满足AX=B,求X.
解:
,故矩阵A可逆,所以由AX=B可得X=A
-1B,
设,D是由曲线y=sinx,y=cosx以及y轴所围成的平面图形,求:5. D的面积.
解:
故所求面积为
6. D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
解:由题意可知,所求体积为
7. 当λ为何值时,非齐次线性方程组
有无穷多解,并求其通解.
解:由题意可知方程组的增广矩阵为
要使方程组有无穷多解,则需r(A)=r(A,b)<n=4,
所以λ-8=0,即λ=8时,方程组有无穷多解,
令x
3=k
1,x
4=k
2,则x
2=6-3k
1-k
2,x
1=7k
1+k
2-14,
设随机变量X的概率密度函数为其中a为常数,求:8. a的值.
解:由题意可知
故
9. 数学期望E(X).
解:由题意得