第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2.
,则f'(1)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.
[解析]
3. 不定积分
等于______
A.
B.
C.-cotx+sinx+C
D.cotx+sinx+C
A B C D
A
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
,故选A.
6. 设函数y=x
4+2x
2+3,则
=______
- A.4x3+4x
- B.4x3+4
- C.12x2+4x
- D.12x2+4
A B C D
D
[考点] 本题考查了一元函数的高阶导数的知识点.
[解析] 因为y=x
4+2x
2+3,故
.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题1.
,则dy=______.
[考点] 本题考查了一元函数的微分的知识点.
[解析]
2.
=______.
[考点] 本题考查了无穷区间的反常积分的知识点.
[解析]
3. 设y=sinx,则y
(10)=______.
-sinx
[考点] 本题考查了一元函数的高阶导数的知识点.
[解析] 由y=sinx,且
,则
4. 设函数z=sin(x+2y),则
=______.
cos(x+2y)
[考点] 本题考查了二元函数的偏导数的知识点.
[解析] 因为z=sin(x+2y),则
.
5.
(a>0,a≠1),则y'=______.
[考点] 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.
[解析]
6.
=______.
x-arctanx+C
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
7.
=______.
e2
[考点] 本题考查了
的应用的知识点.
[解析]
本题还可如下解出:
8.
=______.
ln|x|+arctanx+C
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
9. 设曲线y=x
2+x-2在点M处切线的斜率为2,则点M的坐标为______.
[考点] 本题考查了曲线上一点处的切线的知识点.
[解析] y=x
2+x-2,y'=2x+1,由导数的几何意义可知,若点M的坐标为(x
0,y
0),则2x
0+1=2,解得
.
10. ∫sin2xcosxdx=______.
[考点] 本题考查了不定积分的知识点.
[解析]
三、解答题(解答应写出推理、演算步骤)1. 设函数f(x,y)=x
2+y
2+xy+3,求f(x,y)的极值点与极值.
由已知,
.
f(x,y)的2阶偏导数为
因为A>0且AC-B
2>0,所以(0,0)为f(x,y)的极小值点,极小值为f(0,0)=3.
2.
3.
4. 求由方程2x
2+y
2+z
2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分.
等式两边对x求导,将y看做常数,则
,
5. 计算∫x
2e
xdx.
∫x2exdx=∫x2dex
=x2ex-2∫xexdx
=x2ex-2∫xdex
=x2ex-2xex+2ex+C.
6.
7. 当x>0时,证明:e
x>1+x.
证法1:在[0,x]上令F(x)=ex,则使用拉格朗日定理得,
F(x)-F(0)=F'(ξ)(x-0),ξ∈(0,x),即ex-1=eξ·x,
由于eξ>1,所以ex-1>x,即ex>1+x.
证法2:令G(x)=ex-1-x,则G'(x)=ex-1,故在[0,x]内G'(x)>0,
所以在[0,x]上G(x)单调递增,由G(0)=0,得x>0时,G(x)>0,
即ex-1-x>0,亦即ex>1+x.