第一部分 选择题
一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.2. 下列函数在(0,+∞)内有界的是______
A.y=lnx
B.
C.y=x
3 D.y=arctanx
A B C D
D
[解析] A项,
,lnx在(0,+∞)内为无界函数;
B项,
在(0,+∞)内为无界函数;
C项,
,x
3在(0,+∞)内为无界函数;
D项,x>0时,
,arctanx为有界函数,故选D.
9. 若直线
平行,则k=______
A B C D
A
[解析] 直线l
1和l
2的方向向量分别为n
1={2,-1,-2}和n
2={4,-2,k},当两直线平行时,方向向量平行,即
,故k=-4.
第二部分 非选择题
二、填空题1. 函数
的连续区间是______.
(4,+∞)
[解析] 一切初等函数在其定义区间内是连续的,函数f(x)须满足x-4>0,则x>4,故函数的连续区间为(4,+∞).
2. 若函数f(x)满足
,则
=______.
3
[解析]
3. 若函数的参数方程为
则
=______.
1
[解析]
4. 函数f(x)=x
4-2x
2+5在区间[0,2]上的最小值为______.
4
[解析] f'(x)=4x3-4x=4x(x2-1),当0<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)>0,所以f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,故最小值为f(1)=1-2+5=4.
5. 若∫f(x)dx=cosx+C,则∫f(x-3)dx=______.
cos(x-3)+C
[解析] ∫f(x-3)dx=∫f(x-3)d(x-3)cos(x-3)+C.
6. 微分方程y"=e
x满足初始条件y'|
x=0=1和y|
x=0=0的特解是______.
y=ex-1
[解析] 方程两边同时积分得y'=ex+C1,再次积分得y=ex+C1x+C2,又y'|x=0=1,y|x=0=0,分别代入上式得C1=0,C2=-1,故特解为y=ex-1.
三、计算题(每小题6分,共36分.)1. 求极限
.
解:
2. 若函数
在点x=0处连续,求a的值.
解:由f(x)在点x=0处连续知
,
故a=e
2.
3. 求曲线xy+lny=2在点(2,1)处的切线方程.
解:方程两边同时对x求导得
则
,所求切线斜率为
,
故所求切线方程为
.
4. 求定积分
解:
5. 求过直线
与xOy面的交点且与直线L垂直的平面方程.
解:令2t-2=0,得t=1,则直线L与xOy面的交点为(4,-1,0),
直线L的方向向量为{5,-3,2},直线L与所求平面垂直,则所求平面的法向量可取为{5,-3,2},
故所求平面方程为5(x-4)-3(y+1)+2z=0,即5x-3y+2z-23=0.
6. 求微分方程xy'+y=e
x的通解.
解:原方程可化为
,
故所求通解为
四、应用题(每小题8分,共16分.)1. 求曲线
与直线x+2y-3=0所围成的封闭图形的面积及该图形绕x轴旋转一周.所得旋转体的体积.
解:所围图形如图所示,联立
解得交点为
,
则所围成图形的面积为
所求旋转体体积为
函数y=f(x)由xy+1=ex(x≠0)确定.3. 如果g(x)=f(x)-x,求g(x)的单调区间;
解:
,
设h(x)=xe
x-e
x+1-x
2=(x-1)(e
x-1-x),h(0)=h(1)=0,
h'(x)=xe
x-2x=x(e
x-2),
当x<0或x>ln2时,h'(x)>0,
当0<x<ln2时,h'(x)<0,
故h(x)在(0,ln2]上单调递减,在(-∞,0)、[ln2,+∞)上单调递增,
令h(x)>0,得x>1,
令h(x)<0,得x<1(x≠0),
故g(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,0)、(0,1]上单调递减;
4. 若f(x)=x+k有两个不相同的实根,求k的取值范围.
解:由题意得,g(x)=k有两个不相同的实根,
g(1)=e-2,即g(x)的最小值为e-2,
,故x=0为g(x)的可去间断点,
根据g(x)的单调性结合图形可知,k>e-2且k≠1.