一、选择题2. 若点O与点F(-2,0)分别为双曲线
=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
的取值范围为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由F为左焦点得a
2=3,则双曲线方程为
,设P(x
0,y
0),则
=(x
0,y
0)·(x
0+2,y
0)=
-
,由P在右支得
,所以
.
3. 已知x
1,x
2,…,x
20的平均数是a;x
21,x
22,…,x
30的平均数是b,则x
1,x
2…x
30的平均数是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 依题意得,x
1+x
2+…+x
20=20a,x
21+x
22+…+x
30=10b,所以x
1+x
2+…+x
30=20a+10b,
4. 已知数列{a
n}是首项为1,公比为i的等比数列,则其前2048项的和S
2048=______.
A B C D
C
[解析] 已知数列{a
n}是首项为1,公比为i的等比数列,则
因此
又i
2048=i
4×512=1,所以S
2048=0.
6. 下图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间
上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点______
A.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
B.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变
D.向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
A B C D
A
[解析] 由图象可知函数的周期为π,振幅为1,所以函数y=Asin(ωx+φ)的表达式可设为y=sin(2x+φ).将
代入可得φ的一个值为
,故函数的一个表达式是
所以只需将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变.
7. 设矩阵
,则|4A
-1|=______.
A.
B.2
C.8
D.32
A B C D
C
[解析]
又因为|A|=8,所以|4A
-1|=8.
9. 如图所示的四面体A—BCD,AD⊥面BCD,BD⊥CD,BD=1,CD=2,AD=2,则该四面体的内切球的半径为______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 四面体内切球半径r即内切球的圆心O到面的距离,利用体积法得V
A—BCD=V
O—ABC+V
O—ACD+V
O—ABD+V
O—BCD,根据已知得
故
二、填空题1. 义务教育,也叫______,是由国家用立法形式确定下来强制实行的国民基础教育.
2. 如图所示,在长方形ABCD中,P是AD上一动点,已知AD=15,AB=7.2,则当AP:DP=______时,△BCP为直角三角形.
9:16或16:9
[解析] 设BP=x,CP=y,当△BCP为直角三角形时.根据勾股定理和三角形面积有
解得
当x=9,即BP=9时,由勾股定理解得AP=5.4,所以DP=9.6,即
当x=12,即BP=12时,同理可得
3. 已知a,b,c均为正数,且
若以a,b,c为三边构造三角形,则c的取值范围是______.
(5,9)
[解析] 要以a,b,c为三边构造三角形,需要满足任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,所以a+b>c恒成立.根据均值定理,
所以c<9,又因为a<c,b<c,所以
所以
即c>5,所以5<c<9.
4. 已知平面π
1:x+2y-5z+7=0与平面π
2:4x+3y+mz+13=0垂直,则m=______.
2
[解析] 两平面的法向量分别为:n
1={1,2,-5};n
2={4,3,m},由两平面垂直
4+6-5m=0
m=2.
5. 如图所示的直三棱柱,AB⊥BC,MA=MA
1=AB=BC=1,则面MBC
1与底面ABC的夹角的正切值为______.
[解析] 延长C
1M与CA,交于N点,连接BN,则BN即为面MBC
1与底面ABC的的交线.过A点作AD⊥DN,连接MD.因为三棱柱为直三棱柱,所以MA⊥面ABC,又
所以MA⊥BN,又MA∩AD=A,所以BN⊥面MDA,即BN⊥MD,所以∠MDA即面ABC与面MBC
1的二面角,根据余弦定理求得.
因为
所以
因为AB=BC=1,BC⊥AB,所以
在
即
求得
以两平面夹角的正切值
三、解答题1. 某公司以每亩50万元的价格收购了一块20亩的土地,计划修建6个小区,其中A、B小区各修建一栋18层的楼房,C、D小区各修建一栋15层的楼房,E、F小区各修建一栋10层的楼房.为满足不同人群的需求,A、B小区建经济适用房,每层800m
2,初步核算成本为800元/m
2,售价为2500元/m
2;C、D小区建成中档商品房,每层800m
2,初步核算成本为1000元/m
2,售价为2800元/m
2;E、F小区建高档商品房,每层1000 m
2,初步核算成本为1500元/m
2,售价为3000元/m
2.整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道,建花园、运动场和超市等,这些所需费用共计需要3500万元.若房屋完全售完,则这个公司的赢利是多少?
公司收购土地所花的费用为50×20=1000(万元),
建房成本为2×(800×800×18+800×1000×15+1000×1500×10)=7704(万元),
售出总金额为2×(800×2500×18+800×2800×15+1000×3000×10)=19920(万元),
则公司的赢利为19920-1000-7704-3500-7716(万元).
则房屋全部售完,这个公司的赢利为7716万元.
[解析] 本题主要考查数的计算.
已知函数(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.2. 求k的值;
由
得
由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以f'(1)=0,因此k=1.
3. 求f(x)的单调区间;
由第一小题得,
令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,
又e
x>0,所以x∈(0,1)时,f'(x)>0;x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
4. 设g(x)=(x
2+x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,g(x)<1+e
-2.
因为g(x)=(x
2+x)f'(x),
所以
因此对任意x>0,g(x)<1+e
-2等价于
由(2)知h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
所以h'(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e
-2),x∈(0,+∞),
因此当x∈(0,e
-2)时,h'(x)>O,h(x)单调递增;当x∈(e
-2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)的最大值为h(e
-2)=1+e
-2,故1-x-xln x≤1+e
-2.
设φ(x)=e
x-(x+1),因为φ'(x)=e
x-1=e
x-e
0,
所以x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,φ(x)>φ(0)=0,
故x∈(0,+∞)时,φ(x)=e
x-(x+1)>0,即
所以
因此对任意x>0,g(x)<1+e
-2.
已知不透明的箱子里有5个大小相同的小球,且分别贴有数字1、2、2、3、4,现从该箱子中任取2个球,记随机变量X为取出的两球上的数字之和.5. 求X的分布列;
X的可能取值有:3,4,5,6,7.
则X的分布列为:
6. 求X的数学期望E(X).
X的数学期望
在平面直角坐标系中有抛物线G,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),且抛物线的焦点到准线的距离为2.7. 求抛物线的方程;
已知抛物线的焦点到准线的距离为2,所以
即|p|=2,
又因为p>0,所以p=2,故抛物线的方程为x
2=4y.
8. 若一斜率为正的直线过点N(0,-3)且与抛物线有交点,则求直线斜率的取值范围.
根据题干可设直线方程为y=kx-3(k>0).
联立方程可得
化简得到x
2-4kx+12=0,
当直线与抛物线相切时,此方程只有一个实数解,故Δ=(4k)
2-4×12=0,解得
因为直线斜率为正,所以只有当
时,直线与抛物线有交点.
故直线斜率的取值范围为
如图所示,已知AB=CD=6,AD=BC=10,EF是对角线AC的垂直平分线且分别与AD、BC交于点E、F.
9. 证明:四边形AFCE是菱形;
依题意知四边形ABCD是平行四边形,
所以AE//FC,
所以∠OAE=∠OCF,
又因为AO=CO,∠AOE=∠COF,
所以△AOE≌△COF.
所以OE=OF
△AOF≌△COE,AC也是EF的垂直平分线,
因为EF⊥AC,
所以四边形AFCE是菱形.
10. 若BA⊥CA,求四边形AFCE的面积.
因为BA⊥CA,
所以△ABC是直角三角形,
因为∠BAF+∠FAC=∠B+∠ACB,且∠FAC=∠ACB,
所以∠BAF=∠B,AF=BF,
因为AF=CF,
所以BF=CF,即F是BC的中点,菱形AFCE的边长为
所以S
菱形=h·CF=4.8×5=24.