一、选择题2. 若直线l
1:(a-1)y+(a+1)x=3与直线l
2:3ay=ax+1互相垂直,则a的值为______.
A B C D
C
[解析] 由题,直线l
1与直线l
2互相垂直,因此a≠-1,直线l
1的斜率为
,直线l
2的斜率为
,因为两条直线相互垂直时,斜率的乘积为-1,所以
解得a=2.
3. 已知数列{a
n}中,若2a
n=a
n-1+a
n+1(n∈N
*,n≥2),则下列各不等式中一定成立的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由于2a
n=a
n-1+a
n+1(n∈N
*,n≥2),∴{a
n}为等差数列.
,
,
∴
,
∴
.
4. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为
中位数分别为m
甲,m
乙,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由茎叶图可知:甲组的数据为:5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43;乙组的数据为10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48,所以
7. 若级数
收敛,则级数
______.
- A.一定绝对收敛
- B.可能收敛也可能发散
- C.一定条件收敛
- D.一定发散
A B C D
B
[解析] 本题可通过举例来证明,
收敛,
发散;
收敛,
收敛.故级数
收敛,级数
可能收敛,也可能发散.
二、填空题1. 定义集合运算:A·B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},设集合A={-2,0,1},集合B={tanα,sinα}
则集合A·B的所有元素之和为______.
[解析] 依题意可知,集合
因为A·B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},集合A={-2,0,1},所以
所有元素之和为
2. 按课程内容所固有的属性来划分,语文学科、数学学科、英语学科属于______课程.
学科
[解析] 根据课程内容所固有的属性,课程可分为学科课程和活动课程,其中学科课程是以知识为基础,按照一定的价值标准,从不同的知识领域中选择一定的内容,再根据知识的逻辑体系,将选出的知识组织为学科.
3. “望梅止渴”属于第______信号系统的条件反射,“谈虎色变”属于第______信号系统的条件反射.
4. 阅读下面的程序框图,若输入m=4,n=6,则输出a=______,i=______.
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”)
12 3
[解析] 输入m=4,当i=1,则a=m×i=4,但6不整除4;第一次循环之后,i=1+1=2,a=4×2=8,但6不整除8;第二次循环之后,i=2+1=3,a=4×3=12,此时6整除12,满足输出条件,输出a为12,i为3.
三、解答题1. 已知命题p:1≤x≤2;命题q:f(x)=x
3-3ax
2+4x+8单调递减.若命题p是命题q的充分不必要条件,求a的取值范围.
因为命题p是命题q的充分不必要条件,
所以由p可以推出q,由q不能推出p.
则题目可转化为f(x)=x
3-3ax
2+4x+8在-1≤x≤2上时单调递减,求a的取值范围.
f'(x)=3x
2-6ax+4=3(x-a)
2+4-3a
2,
则f'(x)<0在1≤x≤2上恒成立,
即
解得a的取值范围为
2. 已知
,若A
2=lA,则求l.
因为A中任两行、任两列都成比例,
故可把A分解成两个矩阵相乘,即
,则由矩阵的乘法结合律可知:
所以
3. 求解方程
因为此方程关于未知函数y和y'不是线性的,
将它变形为
首先将此方程化为线性齐次方程
两边积分得
则
将上述两式代入
中,得
则
两边积分得
所以,原方程通解为
已知正三棱柱ABC—A1B1C1,底面边长为1,A1A=2AB,M、N分别为CC1、AB的中点,
4. 求异面直线A
1B
1与MN的距离;
如图,取A
1B
1中点P,连接PN,过P作PQ⊥MN交于Q点,
因为AA
1⊥面A
1B
1C
1,PN∥AA
1,所以PN⊥面A
1B
1C
1,所以PN⊥A
1B
1.
在等边三角形A
1B
1C
1中,P为A
1B
1中点,所以C
1P⊥A
1B
1.
因为
所以A
1B
1⊥面CC
1PN,
又因为
又因为PQ⊥MN,
所以PQ是异面直线A
1B
1、MN的公垂线,即为两直线间的距离.
在△PQN和△NCM中,∠PNQ+∠MNC=∠PNQ+∠NPQ=90°,所以∠MNC=∠NPQ,
又因为∠PQN=∠NCM=90°,所以△PQN∽△NCM,
所以
因为
所以
即异面直线A
1B
1、MN的距离为
5. 求MN与底面所成的角.
因为M在底面的投影为C点,MN在底面的投影为CN,
所以∠MNC即为MN与底面的夹角,
所以MN与底面所成的角为
解方程组:6.
原方程组可化为
,
②-①可得x=7y-17③,
将③代入①中,可解得
.
7.