一、选择题5. 分段函数
的值域为R,则a的值可能是______.
A B C D
D
[解析] x<1时,函数的值域为(-∞,-2);x≥1时,
分两种情况进行讨论:①当a>0时,
即f(x)的对称轴在x轴的负半轴,此时当x=1时,f(x)有最小值,因为函数的值域为R,故应有f(1)=1+a+1≤-2,得a≤-4,故此时a无解;②当a<0时,
此时
因为值域为R,所以
解得
四个选项中只有D项符合条件.
6. “关于x的方程ax
2+x+2=0至少有一个负的实根”的充要条件是______.
A.a<0
B.
C.a<0或a=0
D.
A B C D
D
[解析] 本题需分情况讨论,当a=0时,原方程为x+2=0,解得x=-2,题干命题成立;当a≠0时,设y=ax
2+x+2,该函数图象恒过(0,2)点.①当a>0时,需满足
解得
②当a<0时,Δ>0与
恒成立,满足“至少有一个负的实根”.综上所述,
满足题意.
8. 已知z
1、z
2为复数,|z
1|和|z
2|分别是它们的模,则下列选项错误的是______.
- A.|z1+z2|≤|z1|+|z2|
- B.|z1+z2|≥||z1|-|z2||
- C.|z1-z2|≥|z1|+|z2|
- D.|z1-z2|≥||z1|-|z2||
A B C D
C
[解析] 假设z
1=1+i,z
2=1-i,则z
1-z
2=2i,|z
1-z
2|=2.
,
即|z
1-z
2|<|z
1|+|z
2|,因此C项错误.
10. 定义在R上的任意函数f(x),都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10
x+1),那么______.
A.g(x)=x,h(x)=lg(10
x+10
-x+2)
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] f(-x)=lg(10
-x+1)=
=lg(10
x+1)-lg10
x=lg(10
x+1)-x,A、B、D经过验证都不正确.对于选项C,g(x)+h(x)=lg(10
x+1)=f(x),g(x)显然为奇函数,
,即h(x)为偶函数,故选C.
二、填空题2. 已知平面直角坐标系中有点A(2,1),过A点且与两坐标轴都相切的圆的方程为______.
(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(x-5)2=25
[解析] 已知圆经过点A(2,1),且与两坐标轴相切,则可知此圆一定在第一象限,圆心到两坐标轴的距离均为其半径长.设其半径为r,则圆的方程为(x-r)2+(y-r)2=r2.将点A的坐标代入,可得(2-r)2+(1-r)2=r2,化简可得r2-6r+5=0,解得r=1或5.故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(x-5)2=25.
3. 学生的认知结构,即学生已掌握的知识及其构成方式,对新知识学习具有一定的______作用.
迁移
[解析] 依据学生原有的知识基础或认知结构选择教学方法是十分重要的.学生的认知结构,即学生已掌握的知识及其构成方式,对新知识学习具有一定的迁移作用.
5. 在一个边长为a的正方体内,能切除的最大球体的体积为______,球体的表面积为______.
[解析] 正方体切除的球体的最大直径为α,则体积为
表面积为S=4πr
2=πa
2.
三、解答题在等差数列{an}中,已知公差为2,且满足求:1. 数列{a
n}的通项公式a
n;
已知数列{a
n}为等差数列,且公差为2,
又因为
故a
1=3.
所以数列{a
n}的通项公式为a
n=a
1+(n-1)d=2n+1.
2. 记b
n=2
n·a
n,求数列{b
n}的前n项和T
n.
由bn=2n·an,得bn=2n×(2n+1)=n·2n+1+2n,
所以Tn=(22+21)+(2×23+22)+(3×24+23)+…+(n·2n+1+2n)
=(22+2×23+3×24+…+n·2n+1)+(21+22+23+…+2n)
令m=22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
则2m=23+2×24+3×25+…+n·2n+2,
m-2m=22+23+24+…+2n+1-n·2n+2,
即m=n·2n+2-(22+23+24+…+2n+1).
将m代入Tn中得到,Tn=n·2n+2-(22+23+24+…+2n+1)+(21+22+23+…+2n).
化筒得到Tn=n·2n+2-2n+1+2.
3. 先化简
然后从
的范围内选取一个数作为x的值代入求值.
4. 甲盒内有5个白球和3个黑球,从中任取3个球放入空盒乙中,然后从乙盒内任取2个球放入空盒丙中,最后从丙盒内再任取一个球,试求从丙盒内取出的球是黑球的概率.
丙盒中取出黑球的可能情况有4种:
①乙盒中为3个黑球,丙盒中为2个黑球
②乙盒中为2个黑球1个白球,丙盒中为2个黑球
③乙盒中为2个黑球1个白球,丙盒中为1个黑球1个白球
④乙盒中为1个黑球2个白球,丙盒中为1个黑球1个白球.
所以
已知数列{an}为等差数列,且满足S4-S3=2S1,a2n=2an-2.5. 求数列{a
n}的通项公式;
已知S4-S3=2S1,即a4=2a1,
又因为a2n=2an-2,则当n=1时,a2=2a1-2,所以a2=a4-2,
即a4-a2=2=2d,解得d=1,
a2=a1+d=2a1-2,故a1=3.
即{an}是以3为首项,1为公差的等差数列,通项公式an=n+2.
6. 若
(p为常数),求数列{b
n}的前n项和T
n.
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,c的对边,7. 求A;
由
及正弦定理得
因为B=π-A-C,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以
由于sin C≠0,所以
即
8. 若n=2,△ABC的面积为
,求b,c.
△ABC的面积
故bc=4.
而a
2=b
2+c
2-2bccos A,故b
2+c
2=8.解得b=c=2.