一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内9. 下列结论正确的是
A.若A+B=Ω,则A,B互为对立事件
B.若A,B为互不相容事件,则A,B互为对立事件
C.若A,B为互不相容事件,则
也互不相容
D.若A,B为互不相容事件,则A-B=A
A B C D
D
[分析] A,B为对立事件要满足A+B=Ω,AB=
,而A,B互不相容只要满足AB=
,所以对立事件一定互不相容,反之不一定成立.因此A项与B项都不正确.由事件的对偶
,可知选项C也不一定正确.
对于选项D,
.
二、填空题把答案填在题中横线上1.
2.
3. 若x=0是函数y=sinx-ax的一个极值点,则a=______
1.
[[分析] 本题考查的知识点是极值的必要条件:若x
0是f(x)的极值点,且f(x)在x
0处可导,
则必有f'(x
0)=0.
因此有
4.
=______.
e2
[分析]
5.
6.
[提示] 用凑微分法积分可得答案.
7.
=______.
[分析]
.
8.
9.
10. 袋中装有号码为1,2,3的三个球,从中任取一个,记下号码,再放回袋中,这样重复取三次,如果记下的三个号码之和是6,那么三次取到的都是2号球的概率是______.
专
[分析] 由于三个号码的顺序不同是不同的样本点,因此数字和为6的所有样本点是(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)以及(2,2,2)共7个,所以三次都取到2号球的概率为
.
三、解答题解答应写出推理、演算步骤1.
本题考查的知识点是“∞-∞”型不定式极限的计算.
[分析] “∞-∞”型不定式极限应化为
型或
型不定式极限后再求解.本题只需“有理化”,即化为
型,再消去“∞”因子即可.
解
注意 本题的函数不是连续函数,所以化为“
”型后不能用洛必达法则求解.
2. 若
,求k的值.
由题设知e
3k=8,故k=ln2.
[分析] 由于是“
”型,先消去高阶无穷因子,再利用重要极限Ⅱ对分子分母分别进行变形,并求极限.
3.
4.
5.
6. 计算
.
[分析] 这是变上限定积分的问题.用洛必达法则与变上限积分的导数来求解.
7. 已知函数f(x)=ax
3-bx
2+cx在区间(-∞,+∞)内是奇函数,且当 x=1时f(x)有极小值
,求a,b,c.
本题考查的知识点是奇函数的概念、极值的概念及极值的必要条件.
[分析] 如果函数是一个m次多项式,且是奇(或偶)函数,则一定有偶次幂(或奇次幂)项的系数为0.再利用极值的必要条件及极值即可求出a,b,c
解 因为f(-x)=-f(x),即
-ax
3-bx
2-cx=-ax
3+bx
2-cx
得 2bx
2=0 对a∈R都成立,必有b=0.
由极值的必要条件:f'(1)=0,得3a-2b+c=0,解得
8. 求二元函数f(x,y)=x
2+y
2+xy,在条件x+2y=4下的极值.
设F(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x+2y-4)
=x
2+y
2+xy+λ(x+2y-4),
令
由①与②消去λ得x=0,代入③得y=2.
所以函数f(x,y)的极值为4.