二、填空题1. 设积分区域D:x
2+y
2≤2,则二重积分
在极坐标中的二次积分为______.
2. 过点(1,4,-1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为______.
x-1=0
[解析] 主要考查的知识点为平面方程的求法及特殊位置的平面.
[要点透析] 因为所求的平面平行于Oxz坐标面,故设其万程为Ax+D=0,又因为该平面过点(1,4,-1),所以A+D=0,即A=-D,因此所求平面方程为x-1=0.
3. 已知向量a={0,-1,3}和b={1,-2,-1},则-2n+b______.
{1,0,-7}
[解析] 主要考查的知识点为向量的加减法.
[要点透析] -2a+b=-2{0,-1,3}+{1,-2,-1}={0,2,-6}+{1,-2,-1}={1,0,-7}.
4. 微分方程y″+3y′=sinx的阶数是______.
5. 微分方程
的通解为______.
三、计算题1. 设∑为坐标面及平面x=1,y=1,z=1所围成的正方体表面的外侧,计算曲面积分
.
设Ω:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1
由高斯公式得
2. 计算
,L是圆周x
2+y
2=a
2沿逆时针方向.
3. 判断级数
的敛散性.
,而级数
发散,由比较判别法得原级数发散.
[考点点击] 本题考查级数的敛散性(比较判别法).
4. 求出z=x
3+y
3-3xy的极值.
f(x,y)=x
3+y
3-3xy
∴f
x(x,y)=3x
2-3y,f
y(x,y)=3y
2-3x
A=f
xx=6x,B=f
xy=-3,c=f
yy=6y
令
得驻点(1,1)(0,0)
关于第一个驻点(1,1)有B
2-AC=9-6×6=-27<0且A>0
因此(x,y)在点(1,1)取得极小值f(1,1)=1+1-3=-1
关于第二个驻点(0,0)有B
2-AC=9>0,因此f(x,y)在(0,0)点取不到极值.
5. 已知方程x
2+y
2+z
2-8z=0确定函数z=z(x,y),求
.
设F(x,y,z)=x
2+y
2+z
2-8z
则F
x=2x,F
y=2y,F
z=2z-8
6. 求过点(-1,1,-2)并且与平面2x-y+z-3=0和平面x-y=0都平行的直线方程.
两平面的法向量分别为n
1=(2,-1,1),n
2=(1,-1,0),则所求直线的方向向量
,
故所求的直线方程为
.
[考点点击] 主要考查的知识点为平面与直线间的关系.
8. 计算曲线积分
,其中L是有向线段,起点为A(1,1),终点为B(2,2).
令
,
,则
即
故曲线积分与路径无关,选取路径如图所示,在线段AC上y=1,dy=0.在线段BC上,x=2,dx=0.故
[考点点击] 本题考查平面曲线积分与路径无关.
9. 求方程xy″=y′的通解.
令p=y′,代入原方程得xp′=p,分离变量
两边积分得lnp=lnx+lnC
1,
即p=C
1x,
将p=y′代入上式得
分离变量dy=C
1xdx,
两边积分得
.
[考点点击] 本题考查y″=f(x,y′)型微分方程.
10. 设f(x)是周期为2π的周期函数,在一个周期[-π,π]上的表达式为
,试写出f(x)的傅里叶级数的和函数在x=-π处的值.
∵x=-π是f(x)的间断点
故由收敛定理知
11. 求
,其中D是直线y=2,y=x和双曲线xy=1所围成的平面区域.
积分区域如图所示
12. 证明级数
的收敛性,并求其和.
四、综合题1. 设函数
,证明
.
2. 没一物体占有空间区域Ω={(x,y,z)|0≤x≤2,0≤y≤1,0≤z≤3},该物体在点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z)=x+2y+z,求这个物体的质量.
由题意知
3. 证明无穷级数
.