一、单项选择题2. 设函数f(x,y)的二重极限
,则
A B C D
A
累次极限
存在表明其对应的P(x,y)→P
0(x
0,y
0)的路径为二重极限
的P→P
0各种路径中的一条,所以,
5. 函数图形是下半球面的是
A.-2(x
2+y
2) B.-(x+y)
C.
D.-y
2 A B C D
C
∵球面方程为x
2+y
2+z
2=R
2∴下半球面方程为
三、计算题1. 计算三重积分
,其中积分区域Ω由
,y=0,z=0及
所围成的区域.
积分区域Ω如下图所示,故
[考点点击] 主要考查的知识点为三重积分的计算.
2. 计算二重积分
,D:ax≤x
2+y
2≤a
2,x≥0,y≥0(a>0).
3. 计算
,其中∑是立体
(a>b>0)的表面的外侧.
4. 求幂级数
的收敛半径和收敛区间.
∴级数的收敛半径为
对x=2,原级数成为
对x=-2,原级数成为
是交错级数,由莱布尼茨判别法知该级数收敛.
∴级数
的收敛半径为2,收敛区间是[-2.2)
5. 设积分区域Ω由上半球面
及平面z=0所围成,求三重积分
.
已知平面π:2x+y+z=3和直线L:6. 写出直线L的对称式方程;
L的方向向量为
点(-2,0,3)在直线L上
所以直线L的对称式方程为
7. 求平面π与直线L的交点.
解得L与π的交点坐标为(1,-1,2)
8. 设二元函数z=z(x,y)由方程z=x+ye
z确定,求
.
所给方程两边分别关于x,y求偏导数,得
9. 判断无穷级数
的敛散性.
10. 在所有周长等于6的直角三角形中,求出斜边最小的三角形.
设直角三角形的两直角边为x,y,斜边为z,则有
构造拉格朗日函数L(x,y)=
+λ(x+y+z-6)=(1+λ)
+λ(x+y-6),
解方程组
当λ=-1时,方程组的前两个式子都不成立,故λ≠-1.
解得
由于实际情况必存在斜边最小值,故当直角三角形的两直角边长均为
时,斜边最小.
[考点点击] 本题考查最值的应用.
11. 设z=arcsin(xy),x=se
t,y=t
2,则
.
四、综合题1. 求方程e
ydx+(xe
y+2y)dy=0的通解.
P=e
y,Q=xe
y+2y
,故存在一个二元函数F(x,y)使
2. 设
,试问在点(0,0)处f(0,y)是否连续?偏导数是否存在?
故f(x,y)在(0,0)处不连续.
3. 设幂级数为
,求其和函数和收敛区间.