一、单项选择题2. 幂级数x+2x
2+3x
3+…+nx
n+…的收敛区域为
- A.[-1,1]
- B.(-1,1)
- C.(-1,1]
- D.[-1,1)
A B C D
B
[解析] 本题考查幂级数的收敛区间.
[要点透析] 收敛半径
=1,又因为当x=1时,幂级数为1+2+3+…+n+…,此时幂级数发散.而当x=-1时,幂级数化为-1+2-3+…+(-1)
nn+…:此时幂级数发散,故收敛区域为(-1,1).
5. 设∑为球面x
2+y
2+z
2=a
2,则对面积的曲面积分
=
A B C D
D
由对面积的曲面积分的定义知
的值等于∑的面积.又∑为球面x
2+y
2+z
2=a
2,其表面积s=4πa
2
二、填空题1. 设函数u(x,y,z)=x
2+2xy+z
2+2,则gradu(1,0,-1)=______.
2. 幂级数
在其收敛域中的和函数s(x)=______.
3. 微分方程y"+6y'+9y=0的通解是______.
y=(c1+c2x)e-3x
齐次方程的特征方程为r2+6r+9=0,∴r1=r2=-3,它只有一个实的二重根r=-3.因此所求通解为y=(c1+c2x)e-3x
4. 微分方程x
2dy+(3xy-y)dx=0的通解是______.
5. 微分方程
的通解为______.
[解析] 本题考查齐次方程和分离变量.
[要点透析] 原方程可化为
令
,则y=ux,
故
分离变量积分得
,arctanu=lnx+C.将
代入处原方程的通解为
三、计算题1. 已知可导函数f(x)满足
,求函数f(x).
2. 设函数f(x)满足f″(x)+2f′(x)-3f(x)=2e
x,求微分方程的一个特解函数f(x).
此方程是二阶常系数非齐次微分方程,其中f(x)=2e
x属于e
λxP
m(x)型λ=1,m=0),则该方程所对应的齐次方程的特征方程为r
2+2r-3=0,解特征根为r
1=-3,r
2=1,所以λ=1是对应齐次方程的特征根,且为单根.
故设其特解为f(x)
*=b
0xe
x 则f(x)
*′=b
0e
x+b
0xe
x,
f(x)
*″=b
0e
x+b
0e
x+b
0xe
x=2b
0ex+b
0xe
x.
代入微分方程得
,
于是原微分方程的一个特解
.
[考点点击] 主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程.
3. 求幂级数
的收敛半径和收敛域.
∴收敛半径R=2
∴收敛域为(-2,2]
4. 已知直线L
1:
和直线L
2:
(1)求出直线L
1的对称式方程;
(2)求直线L
1和直线L
2的夹角.
(1)直线L
1的方向向量为
v
1=
={-28,14,-7}=-7{4,-2,1}.
令z=1,则方程组变为
解之得x=2,y=-3.
所以点(2,-3,1)在直线上.
故直线L
1的对称式方程为
(2)直线L
2的法向量为
v
2={4,-2,1}.
显然v
1∥v
2,从而直线L
1和直线L
2互相平行,
即夹角θ=0.
[考点点击] 本题考查直线方程的形式和两直线的夹角.
5. 求由方程2xz-2xyz+ln(xyz)=0确定的隐函数z=z(x,y)在(1,1)处的微分.
令F(x,y,z)=2xz-2xyz+ln(xyz),则
反x=1,y=1代入原方程求得z=1
6. 设x
2+y
2+z
2=4z,确定函数z=z(x,y),求
.
两边对x求导得
7. 求曲线积分
,其中L是正向椭圆4x
2+y
2=8x.
8. 设区域D是由曲线y=x,y=2x-x
2所围成的平面区域,求二重积分
.
积分区域如图所示
9. 设函数f(x,y,z)=x
2+2y
2+2xyz,求f(x,y,z)在点p(-1,1,2)处的梯度.
,
,则
,
,故gardf(-1,1,2)={2,0,-2}.
[考点点击] 主要考查的知识点为函数的梯度.
10. 计算
.其中L为:x=a(t-sint),y=a(1-cost).(0≤t≤2π_
11. 计算
,其中L是从点(0,1)沿曲线
(x≥0)到点(1,0).
L的参数方程为
故
12. 计算对坐标的曲线积分∮
C(1-3y)dx+(1-2x+y)dy,其中C为区域D:|x|≤1,|y|≤1的正向边界曲线.
解:由格林公式
四、综合题1. 将函数f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数.
2. 设f(x)在[a,b]上连续且恒大于零.试利用二重积分证明
其中D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b}于是
3. 设函数f(x)在[0,1]上连续,证明
.
设
则积分区域D={(x,y)|0≤x≤1,x
2≤y≤1}交换二次积分的积分顺序有
∴等式成立.