一、选择题本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
5. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,其中a=10,b=15,
,则sinA=______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 根据三角形的正弦定理可得,
,且已知a=10,b=15,
,故有
.
6. 双曲线
的渐近线方程是______·
A.y=±x
B.y=±2x
C.
D.y=±4x
A B C D
C
[解析] 双曲线的方程为
,则a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为
,即
7. 一个袋中有3个红球和2个白球,如果不放回地依次摸出2个球,那么在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 设第一次摸出红球的概率为P
1,第一次摸出红球且第二次也摸出红球的概率P,在第一次摸出红球的条件下第二次摸出红球的概率为P
2则由题意可知,
,
,则
.
9. 设0<a<1,函数y=log
ax在区间[2a,4a]上的最小值为-1,则a=______.
A.
B.
C.-2
D.2
A B C D
B
[解析] 当0<a<1时,函数y=log
ax在定义域内单调递减,故函数y=log
ax在区间[2a,4a]上的最小值在x=4a处取得,即log
a4a=-1,又0<a<1,则
.
10. 点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周.O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图所示,那么点P所走的图形是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由距离y与路程x的函数图象可知,y随x的变大而先变大再变小,成轴对称且变化圆滑.A、B两项中y与x有成正比例关系的部分,故排除;当
时,y取得最大值,此时D项中y等于椭圆的短轴长,不一定是最大值,故排除;C项符合题意.
二、填空题本大题共3小题.请在每小题的划线填上正确的答案.
1. 在等比数列{a
n}中,a
1=1,a
4=27,则a
3=______.
9
[解析] 设等比数列{a
n}的公比为q,故
,解得q=3,则a
3=a
1·q
2=1×3
2=9.
2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比为1:2:4,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有9件,那么此样本的容量n=______.
63
[解析] A、B、C三种型号产品的数量之比为1:2:4,则分层抽样中三种型号产品的数量关系也成此比例.样本中,A型号产品有9件,则样本容量n=9×(1+2+4)=63.
3. 某程序的框图如图所示,若输入x=-5,则执行该程序后输出结果的值是______.
5
[解析] 此程序是用来求x的绝对值,故输入-5时,输出的结果为5.
三、解答题本大题共2小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在等差数列{an}中,a2=19,a5=13.1. 求数列{a
n}的通项公式;
设等差数列{an}的公差为d,则a5-a2=3d=-6,得d=-2.
又因为a1=a2-d=19-(-2)=21,所以an=a1+(n-1)d=21-2(n-1)=-2n+23.
2. 设a
n的前n项和为S
n,当n为何值时,S
n最大? 并求出S
n的最大值.
等差数列{a
n}前n项的和
,
则当n=11时,S
n取得最大值,最大值为121.
如图,在三棱锥P—ABC中,AC⊥BC,AC=BC=PA,PA⊥平面ABC.
3. 求证:平面PBC⊥平面PAC;
证明:因为PA⊥面ABC,
所以PA⊥BC
又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,
所以BC⊥面PAC
又因为
所以面PBC⊥面PAC.
4. 求直线AB与平面PBC所成的角的大小.
解:如图,过点A作AD⊥PC于D,连接DB.
因为BC⊥面PAC,
,
所以BC⊥AD,
又因为AD⊥PC,PC∩BC=C,
所以AD⊥面BPC,
所以AD⊥BD
则∠ABD为直线AB与面PBC所成的角,
又因为△PAC、△ABC、△PCB均为直角三角形,且AC=BC=PA,设AC=a,
利用勾股定理可得,
,
即
.