一、选择题2. 设以下的A、B、C为某些常数,微分方程y"+2y'-3y=e
xsin
2x有特解形如
- A.ex(A+Bcos 2x+Csin 2x).
- B.ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x).
- C.ex(A+Bxcos 2x+Cxsin 2x).
- D.xex(A+Bcos 2x+Csin 2x).
A B C D
B
[解析]
对应齐次方程的通解为 Y=C
1e
x+C
2e
-3x,
自由项为
所对应的特解形式为
自由项为
所对应的特解形式为
因此本题所对应的特解形式为
3. 设f(x)在x=a处连续且
存在,则在x=a处
- A.f(x)不可导,但|f(x)|可导.
- B.f(x)不可导,且|f(x)|也不可导.
- C.f(x)可导,且f'(a)=0.
- D.f(x)可导,但对不同的f(x),f'(a)可以等于0,也可以不等于0.
A B C D
C
[解析] 由
存在知
所以
再由f(x)在x=a处连续,故f(a)=0.于是
当x→a
+时,
当x→a
-时,
所以A=0,即有
以下证明
事实上,
在x=a的去心邻域内,
有界(只是+1或-1),而
所以.
所以
即f'(a)=0.选C.
4. 下列结论正确的是
- A.z=f(x,y)在点(x0,y0)某邻域内两个偏导数存在,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.
- B.z=f(x,y)在点(x0,y0)某邻域内连续,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在.
- C.z=f(x,y)在点(x0,y0)某邻域内两个偏导数存在且有界,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.
- D.z=f(x,y)在点(x0,y0)某邻域内连续,则z=f(x,y)在点(x0,y0)该邻域内两个偏导数有界.
A B C D
C
[解析] 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系.设在(x
0,y
0)某邻域U内,对于任意(x,y)∈U有|f'
x(x,y)|≤M,|f'
y(x,y)|≤M(M为正常数).
由微分中值定理,
|f(x,y)-f(x
0,y
0)|≤|f(x,y)-f(x,y
0)|+|f(x,y
0)-f(x
0,y
0)|
=|f'
y(x,y
0+θ
1Δy)·Δy|+|f'
x(x
0+θ
2Δx,y
0)·Δx|
≤M(|Δx|+|Δy|).
这里Δx=x-x
0,Δy=y-y
0,0<θ
1,θ
2<1.
当
时,有Δx→0,Δy→0,必有
|f(x,y)-f(x
0,y
0)|≤M(|Δx|+|Δy|)→0,
故f(x,y)在点(x
0,y
0)处连续.
5. 设f(x,y)在点0(0,0)的某邻域U内连续,且
常数
则
- A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
- B.点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
- C.点(0,0)是f(x,y)的极大值点.
- D.所给条件还不足以确定点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.
A B C D
B
[解析] 由
于是有
于是知,存在点0(0,0)的一个去心邻域
当
时,f(x,y)>0,且
所以f(0,0)是f(x,y)的一个极小值.选B.
6. 设f(x,y)为连续函数,交换累次积分
的次序为先-x后y成为
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 在区间[0,2π]上,
的上限sin x并不总大于或者等于下限0.所以
只是一个累次积分,而不是一个二重积分.所以应先变形,化成两个二重积分:
交换积分次序,
于是知选C.
7. 设3阶矩阵A有3个互不相同的特征值λ
1,λ
2和λ
3,其对应的特征向量分别为ξ
1,ξ
2和ξ
3.则向量组ξ
1、A(ξ
1+ξ
2)、A
2(ξ
1+ξ
2+ξ
3)线性无关的充要条件是
- A.λ1λ2≠0.
- B.λ1λ3≠0.
- C.λ2λ3≠0.
- D.λ1λ2λ3≠0.
A B C D
C
[解析] 令 k
1ξ
1+k
2A(ξ
1+ξ
2)+k
3A
2(ξ
1+ξ
2+ξ
3)=0,
得
由于ξ
1,ξ
2,ξ
3线性无关,故①式成立的充要条件是
故使ξ
1,A(ξ
1+ξ
2),A
2(ξ
1+ξ
2+ξ
3)线性无关的充要条件是上面关于k
1,k
2,k
3的齐次
方程组只有零解.即系数行列式
答案选C.
二、填空题1. 设
存在,则常数a=______.
2. 设
则
[解析] 法一 交换累次积分的次序,
法二 用分部积分,
3. 已知曲线y=ax
2与y=ln x正好有2个不同的交点,则常数a的取值范围是______.
[解析] 令f(x)=ax
2-ln x,可知f(x)的定义域为x>0.
若a≤0,则f'(x)<0,f(x)单调,至多只有一个零点.故以下讨论a>0.
令f'(x)=0,求得定义域内唯一驻点
所以
若
则f(x)无零点或一个零点.舍去.
若
即
在区间
内f(x)严格单调减,在区间
内f(x)严格单调增,且
在区间
与区间
各正好一个零点,共两个零点.故a的取值范围为
4. 设ξ为f(x)=arcsin x在区间[0,b]上使用拉格朗日中值公式中的ξ,则
5.
1
[解析] 作变量变换tan θ=t,有
6. 若二次型
的正、负惯性指数都是1,则a=______.
-2
[解析] 二次型f的矩阵
二次型f的正惯性指数p=1,负惯性指数r-p=1.所以矩阵A的秩r(A)=r=2.有
|A|=-(a-1)
2(a+2)=0,
则a=1或a=-2.
当a=1时,r(A)=1,不合题意,舍去.当a=-2时,r(A)=2,且A的特征多项式
A的特征值λ
1=3,λ
2=-3,λ
3=0.故二次型f的规范形为
其正惯性指数p=1,负惯性指数r-p=1.符合题意,故a=-2.
三、解答题1. 设
且f(x)在x=0处连续.求f(0)的值并求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
[解]
由f'(0)的定义,
当x≠0时,有
所以
切线方程为y-e
2=-2e
2x.
2. 设
讨论F(x)在区间[-1,1]上的零点个数.
[解]
对第二个积分作变量变换t=-u,有
所以当0<x≤1时F'(x)>0;当-1≤x<0时F'(x)<0.所以在区间[-1,0]内F(x)严格单调减,在区间[0,1]内F(x)严格单调增.
又
由连续函数介值定理知,F(x)在区间(-1,0)与(0,1)内各至少有一个零点,再由单调性知,在这两个区间内正好各有一个零点,共有且仅有两个零点.
设x=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且z=z(x+y,x-y)满足微分方程
3. 求z=z(u,v)所满足关于u、v的微分方程;
4. 由上题求出x=z(x+y,x-y)的一般表达式.
由
所以
再积分
其中C
1(v)与C
2(v)为v的具有二阶连续导数的任意函数.
设f(x)在区间[0,1]上连续.5. 证明:存在ξ∈(0,1),使
[证] 记
有φ(0)=φ(1)=0.由罗尔定理知,存在ξ∈(0,1),使
即
6. 若进一步设当x∈[0,1]时f(x)>0且单调减少,证明:这种ξ是唯一的.
设存在ξ∈(0,1),η∈(0,1),不妨设η<ξ,使
两式相减,于是有
因为f(x)单调减少,所以当η<ξ时f(ξ)-f(η)<0.又因f(x)>0,所以f(ξ)>0.
(*)的右边小于0,而左边
矛盾.此矛盾证明(Ⅰ)中的ξ是唯一的.
7. 设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz
3在约束条件x
2+y
2+z
2=5R
2(R>0为常数)下的最大值;
[解] 由拉格朗日乘数法,作函数
F(x,y,z,λ)-xyz
3+λ(x
2+y
2+z
2-5R
2),
有
即
由第1、第2两式,得λ(x-y)=0.若λ=0,则有xyz=0,与题设条件x>0,y>0,z>0不符.故得x=y,于是得
于是得 3x
2-z
2=0及2x
2+z
2=5R
2,
从而得唯一的一组解: x=R, y=R,
此时对应的f(x,y,z)=xyz
3在约束条件x
2+y
2+z
2=5R
2下达到最大:
8. 由上题的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,下述不等式成立:
[证] 由上题有:当x
2+y
2+z
2=5R
2且x>0,y>0,z>0时,
即
令a=x
2,b=y
2,c=z
2,有
证毕.
9. 求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率
其中a为该曲线上在相应的点处的切线的倾角,cos α>0.并设该曲线在点(3,2)处的切线的倾角为
[解] 由曲率计算公式以及曲线凹向可知y"≥0,故
因为
因此得微分方程
整理得 2y
2y"=(1+y'
2)
2.
此为y"=f(y,y')型方程.令
于是上述微分方程化为
分离变量得
两边积分,得 y=(p
2+1)+C
1y(p
2+1).
由于曲线在点(3,2)处切线倾角为
故y(3)=2,y'(3)=1.有2=2+4C
1,C
1=0.
于是有
(因y'在y=2时为1,故“±”取“+”).
再分离变量积分得
再由y(3)=2,得C
2=-1.有
最后得
4(y-1)=(x-1)
2,x≥1.
10. 设平面区域D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},求二重积分
[解] 由于被积函数及积分区域D关于y=x对称,记
D
1={(x,y)|0≤y≤x≤2},D
2={(x,y)|x
2+y
2≤1,0≤y≤x},
D
3={(x,y)|1≤x
2+y
2,0≤y≤x≤2},
有
11. 设f(x,y)在上述D上连续,且
证明:存在点(ξ,η)∈D使|f(ξ,h)|≥1.
[证] 由
所以
所以M≥1,其中
由于|f(x,y)|在D上连续,所以存在(ξ,η)∈D使|f(ξ,η)|=M≥1.
设n阶矩阵A、B乘积可交换,ξ1,…,ξr1、η1,…,ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的
一个基础解系,且对于n阶矩阵C、D,满足r(CA+DB)=n.12. 证明:
且ξ
1,…,ξ
r1、η
1,…,η
r2线性无关;
[证] 因为
由
知方程组
只有零解,即Ax=0与Bx=0无非零公共解,又
分别为Ax=0与Bx=0的基础解系,于是
线性无关.
13. 证明:ξ
1,…,ξ
r1、η
1,…,η
r2是方程组ABx=0的一个基础解系.
[证] 显然ABη
i=0,i=1,2,…,r
2,又AB=BA,所以ABξ
i=0,i=1,2,…,r
1,故
是方程组(AB)x=0的r
1+r
2个线性无关的解向量.
又r(AB)≥r(A)+r(B)-n=(n-r
1)+(n-r
2)-n=n-(r
1-r
2),
所以ABx=0的基础解系中至多有n-[n-(r
1+r
2)]=r
1+r
2个解向量,
从而
为ABx=0的一个基础解系.
14. 设n阶矩阵
已知trA=a≠0.证明:矩阵A相似于对角矩阵.
[证] 设α=(a
1,a
2,…,a
n)
T,β=(b
1,b
2,…,b
n)
T,则矩阵A=αβ
T.
于是
设λ是A的特征值,ξ是对应的特征向量,则
A
2ξ=aAξ,λ
2ξ=aλξ,(λ
2-aλ)ξ=0.
由于ξ≠0,故有λ(λ-a)=0.所以,矩阵A的特征值是0或a.又因为
所以λ
1=a是A的1重特征值,λ
2=λ
3=…=λ
n=0是A的n-1重特征值.
对于特征值λ
2=λ
3=…=λ
n=0,齐次线性方程组(0·E-A)x=0其系数矩阵的秩
r(0·E-A)=r(-A)=r(A)=r(αβ
T)≤min{r(α),r(β
T)}=1.
又因为
故a
ib
i(i=1,2,…,n)不全为零.由此可知
r(A)≥1.
所以,r(0·E-A)=1.因此,矩阵A的属于n-1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n-1.从而,A有n个线性无关的特征向量,故A相似于对角矩阵.