解答题2. 设
求f[g(x)].
【解】本题同样考查分段函数的复合方法.下面用解析法求解.
首先,广义化为
由g(x)的表达式知,
①当g(x)≤0时,即{2e
x-1≤0}∩{x≤0}或{x
2-1≤0}∩{x>0},而
{2e
x-1≤0}∩{x≤0}={x≤-ln2}∩{x≤0}={x≤-ln2},
{x
2-1≤0}∩{x>0}={-1≤x≤1}∩{x>0}={0<x≤1}.
②当g(x)>0时,即{2e
x-1>0}∩{x≤0}或{x
2-1>0}∩{x>0},而
{2e
x-1>0}∩{x≤0}={x>-ln2}∩{x≤0}={-ln2<x≤0},
{x
2-1>0}∩{x>0}={x>1或x<-1}∩{x>0}={x>1}.
综上,得
3. 求函数
的表达式,x≥0;
4. 讨论函数f(x)的连续性.
【解】因为f(x)在
,[2,+∞)上均连续,又
所以f(x)在[0,+∞)上连续.
5. 求
求下列极限.6.
【解】当x→0时,tanx~x,
7.
【解】当x→0时,sinx~x,ex-e-x=e-x(e2x-1)~2x,故原极限=2.
8.
【解】当x→0时,ln(1+x
4)~x
4,
9.
【解】这是“1
∞”型极限,可用公式
来计算,事实上lnu=ln[1+(u-1)]~u-1(u→1).故
10.
【解】这是“∞—∞”型未定式极限,首先通分变成
型未定式,然后使用洛必达法则求极限.
或利用等价无穷小e
x-1~x(当x→0)代换,则
11.
【解】
是“1
∞”型极限,可以使用洛必达法则求极限,也可以凑成第二个重要极限,还可以利用等价无穷小代换.
方法一
方法二
方法三
13.
【解】当x→0时,e
tanx-e
sinx=e
sinx(e
tanx-sinx-1)~tanx-sinx,xsin
2x~x
3,故
16.
【解】当x=0时,原式=1;
当x≠0时,
17.
【解】
18.
【解】
19.
【解】
20.
【解】
21.
【解】
22.
【解】
23.
【解】
24.
【解】
25.
【解】
26.
【解】
27.
【解】
28.
【解】
29.
【解】
30.
【解】
31.
【解】由于
34.
【解】
35. 设f(x)=x
2+ax+b,证明:|f(1)|,|f(3)|,|f(5)|中至少有一个不小于2.
【证】用反证法.设|f(1)|,|f(3)|,|f(5)|都小于2,即
|f(1)|=|a+b+1|<2,|f(3)|=|3a+b+9|<2,|f(5)|=|5a+6+25|<2,
则 |f(1)-2f(3)+f(5)|≤|f(1)|+2|f(3)|+|f(5)|<2+2×2+2=8.
而事实上,|f(1)-2f(3)+f(5)|=|a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25|=8,与上面结论矛盾,故|f(1)|,|f(3)|,|f(5)|中至少有一个不小于2.
36. 求极限
37. 求极限
【解】
39. 求极限
【解】
40. 求极限
【解】