选择题2. 设
其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处______
- A.极限不存在
- B.极限存在,但不连续
- C.连续,但不可导
- D.可导
A B C D
D
[解析] 显然
f(x)在x=0点连续.
由于
所以
又
故
从而f'(0)存在,且f'(0)=0,应选(D).
3. 设函数f(x)可导,且曲线y=f(x)在点(x
0,f(x
0))处的切线与直线y=2-x垂直,则当Δx→0时,该函数在x=x
0处的微分dy是______
- A.与Δx同阶但非等价的无穷小
- B.与Δx等价的无穷小
- C.比Δx高阶的无穷小
- D.比Δx低阶的无穷小
A B C D
B
[解析] 由题设可知f'(x
0)=1,而dy|
x=x0=f'(x
0))Δx=Δx,因而
即dy与Δx是等价无穷小,故选(B).
4. 已知函数f(x)=ln|x-1|,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 应当把绝对值函数写成分段函数,
当x<1时,
当x>1时,
即得(B).
5. 函数
的图形在点(0,1)处的切线与x轴交点的坐标是______
A.(-1,0)
B.
C.(1,0)
D.
A B C D
B
[解析] 因为f'(x)=x
2+x+6,所以f'(0)=6.故过(0,1)的切线方程为y-1=6x,因此与x轴的交点为
6. 函数
在x=π处的______
A.右导数
B.导数
C.左导数
D.右导数
A B C D
D
[解析] f(x)在x=π处的左、右导数为:
因此f(x)在x=π处不可导,但有
8. 函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f'(0)=0,当x≠0时,f'(x)>0,
则它的图形是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因函数单调增加,且在x=0处有水平切线,选(B).
9. 函数y=x
x在区间
上______
A.不存在最大值和最小值
B.最大值是
C.最大值是
D.最小值是
A B C D
D
[解析] y'=x
x(lnx+1),令y'=0,得
当
时,y'>0,函数单调增加,故选(D).
11. 若f(x)在x
0点至少二阶可导,且
,则函数f(x)在x=x
0处
- A.取得极大值
- B.取得极小值
- C.无极值
- D.不一定有极值
A B C D
A
[解析] 由于
则
当0<|x-x
0|<δ时,
由于(x-x
0)
2>0,于是f(x)-f(x
0)<0,所以f(x
0)>f(x).x
0为极大值点.故选(A).
13. 设函数f(x)在x=0处连续,且
,则______
A.f(0)=0且
存在
B.f(0)=1且
存在
C.f(0)=0且
存在
D.f(0)=1且
存在
A B C D
C
[解析] 因为f(x)在x=0处连续,且
所以f(0)=0.从而有
14. 设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且对任意x
1,x
2,当x
1>x
2时,都有f(x
1)>f(x
2),则______
- A.对任意x,f'(x)>0
- B.对任意x,f'(-x)≤0
- C.函数f(-x)单调增加
- D.函数-f(-x)单调增加
A B C D
D
[解析] 根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确.
15. 设a为常数,
,则f(x)在区间(-∞,+∞)内______
- A.当a>0时f(x)无零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
- B.当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)无零点
- C.当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
- D.当a>0时f(x)恰有一个零点,当a≤0时f(x)无零点
A B C D
D
[解析] 本题考查一元微分学的应用,讨论函数的零点问题.
令
由于e
-x>0,g(x)与f(x)的零点完全一样,又
且仅在一点x=0等号成立,故g(x)严格单调增,所以g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
当a>0时,f(-∞)<0,f(+∞)>0,由连续函数零点定理,f(x)至少有一个零点,至少、至多合在一起,所以f(x)正好有一个零点.
当a≤0,
f(x)无零点.
16. 设函数f(x)在区间[a,+∞)内连续,且当x>a时,f'(x)>l>0,其中l为常数.若f(a)<0,则在区间
内方程f(x)=0的实根个数为______
A B C D
B
[解析] 对于f(x)在
上使用拉格朗日中值定理,存在
使得
由f'(x)>l>0,得
即
从而
又由题设f(a)<0,f(x)在区间
的端点值异号,根据零点定理,
使得f(ξ)=0.
由于f'(x)>0(x>a),所以f(x)在
是单调递增函数,故零点ξ只有一个,选(B).
17. 设周期函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,周期为4,又
则曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为______
A.
B.0
C.-1
D.-2
A B C D
D
[解析] 因为函数f(x)周期为4,曲线在点(5,f(5))处的切线斜率与曲线在点(1,f(1))处的切线斜率相等,根据导数的几何意义,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率即为函数f(x)在点x=1处的导数.
即f'(1)=-2.
19. 两曲线
与y=ax
2+b在点
处相切,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因两曲线相切于点
故相交于该点.将x=2,
代入y=ax
2+b中得
又因为相切于该点,故切线斜率相等,即导数相等,所以
将x=2代入得
22. 关于函数y=f(x)在点x
0的以下结论正确的是______
A.若f'(x
0)=0,则f(x
0)必是一极值
B.若f''(x
0)=0,则点(x
0,f(x
0))必是曲线y=f(x)的拐点
C.若极限
存在(n为正整数),则f(x)在x
0点可导,且有
D.若f(x)在x
0处可微,则f(x)在x
0的某邻域内有界
A B C D
D
[解析] (A)不一定,反例:f(x)=x3,f'(0)=0,x=0非极值点;(B)不一定,需加条件:f"(x)在x0点两侧异号;(C)项所给的只是必要条件,即仅在子列上收敛,这是不够的.
29. 设g(x)在x=0处二阶可导,且g(0)=g'(0)=0,设
则f(x)在x=0处______
- A.不连续
- B.连续,但不可导
- C.可导,但导函数不连续
- D.可导,导函数连续
A B C D
D
[解析]
所以f(x)在x=0处连续.
当x≠0时,
则
所以导函数在x=0处连续.
34. 设函数f(x)=(e
x-1)(e
2x-2)…(e
nx-n),其中n为正整数,则f'(0)=______
- A.(-1)n-1(n-1)!
- B.(-1)n(n-1)!
- C.(-1)n-1n!
- D.(-1)nn!
A B C D
A
[解析] 方法一 用导数定义.
方法二 用乘积的求导法则.含因子e
x-1项在x=0处为0,故只留下了一项.于是
f'(0)=[e
x(e
2x-2)…(e
nx-n)]|
x=0=(-1)(-2)…[-(n-1)]=(-1)
n-1(n-1)!.
35. 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,则在(0,1)内至少存在一点ξ,使______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 设F(x)=xf(x),则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,故存在ξ∈(0,1),使得(xf(x))'|
x=ξ=0,即ξf'(ξ)+f(ξ)=0,有
所以选(A).
选项(B),(C),(D)可用反例y=1-x排除.
36. f(x)=xe
x的n阶麦克劳林公式为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为f(x)=xex,f(0)=0,f'(x)=ex(1+x),f'(0)=1,…,f(n)(x)=ex(n+x),f(n)(0)=n,f(n+1)(x)=ex(n+1+x),f(n+1)(θx)=eθx(n+1+θx),依次代入到泰勒公式,即得(B).
39. 给出如下5个命题:
(1)若不恒为常数的函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且x
0≠0是f(x)的极大值点,则-x
0必是-f(-x)的极大值点;
(2)设函数f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于零,则F(x)=
在(a,+∞)内单调增加;
(3)若函数f(x)对一切x都满足xf''(x)+3x[f'(x)]
2=1-e
-x,且f'(x
0)=0,x
0≠0,则f(x
0)是f(x)的极大值;
(4)设函数y=y(x)由方程2y
3-2y
2+2xy-x
2=1所确定,则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点;
(5)设函数f(x)=xe
x,则它的n阶导数f
(n)(x)在点x
0=-(n+1)处取得极小值.正确命题的个数为______
A B C D
B
[解析] 对上述5个命题一一论证.
对于(1),只要注意到:若f(x)在点x
0取到极大值,则-f(x)必在点x
0处取到极小值,故该结论错误;
对于(2),对任意x>a,由拉格朗日中值定理知,存在ξ∈(a,x)使f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a),则
由f"(x)>0知,f'(x)在(a,+∞)内单调增加,因此,对任意的x与ξ,a<ξ<x,有f'(x)>f'(ξ),从而由上式得F'(x)>0,所以函数F(x)在(a,+∞)内单调增加,该结论正确;
对于(3),因f'(x
0)=0,故所给定的方程为
显然,不论x
0>0,还是x
0<0,都有f"(x
0)>0,于是由f'(x
0)=0与f"(x
0)>0得f(x
0)是f(x)的极小值,故该结论错误;
对于(4),对给定的方程两边求导,得
3y
2y'-2yy'+xy'+y-x=0, ①
再求导,得
(3y
2-2y+x)y"+(6y-2)(y')
2+2y'=1. ②
令y'=0,则由式①得y=x,再将此代入原方程有2x
3-x
2=1,从而得y=y(x)的唯一驻点x
0=1,因x
0=1时y
0=1,把它们代入式②得y"|
(1,1)>0,所以唯一驻点x
0=1是y=y(x)的极小值点,该结论正确;
对于(5),因为是求n阶导数f
(n)(x)的极值问题,故考虑函数f(x)=xe
x的n+1阶导数f
(n+1)(x),由高阶导数的莱布尼茨公式得
f
(n)(x)=x(e
x)
(n)+n(e
x)
(n-1)=(x+n)e
x,
f
(n+1)(x)=[x+(n+1)]e
x;f
(n+2)(x)=[x+(n+2)]e
x.
令f
(n+1)(x)=0,得f
(n)(x)的唯一驻点x
0=-(n+1);又因f
(n+2)(x
0)=e
-(n+1)>0,故点x
0=-(n+1)是n阶导数f
(n)(x)的极小值点,且其极小值为f
(n)(x
0)=-e
-(n+1),该结论正确.
故正确命题一共3个,答案选择(B).