一、选择题1. 设
则f(x)=______
A.
B.
C.lnx-2ex
D.lnx+2ex
A B C D
A
[解析] 由题中所给式子变形得
①
记
(常数),则在式①两端作[1,e]上的积分,得
解得
故应选(A).
2. 设
则有______
- A.I1<I2<I3
- B.I3<I2<I1
- C.I2<I3<I1
- D.I2<I1<I3
A B C D
D
[解析] 首先,由
可得,I
2<I
1.
其次,
其中
故I
3>I
1,从而I
2<I
1<I
3,故选(D).
3.
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
4.
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 设x=t
6,则
dx=6t
5dt.
所以
5.
_____
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析]
6.
______
A.
B.
C.arctan(-cos2x)+C
D.
A B C D
B
[解析]
7.
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
8. 设f(x)在[a,b]上非负,在(a,b)内f''(x)>0,f'(x)<0.
I
2=
,I
3=(b-a)f(b),则I
1、I
2、I
3的大小关系为______
- A.I1≤I2≤I3
- B.I2≤I3≤I1
- C.I1≤I3≤I2
- D.I3≤I2≤I1
A B C D
D
[解析] 如下图所示,I
1是梯形AabB的面积,I
2是曲边梯形AabB的面积,I
3是长方形A
1abB的面积.由于f'(x)<0,f"(x)>0,y=f(x)单调减少且图形为凹.由图可知I
3≤I
2≤I
1.
10. 设
则______
- A.N≤P≤Q
- B.N≤Q≤P
- C.Q≤P≤N
- D.P≤N≤Q
A B C D
D
[解析] x
2sin
3x是奇函数,故N=0,x
3e
x2是奇函数,故
所以P≤N≤Q.
13. 设f(x)连续,则在下列变上限积分中,必为偶函数的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之,但要注意,偶函数f(x)的原函数只有
为奇函数,因为其它原函数与此原函数只差一个常数,而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了),选项(A)中被积函数为奇函数,选项(B),(C)中被积函数都是偶函数,选项(D)中虽不能确定为偶函数,但为非负函数,故变上限积分必不是偶函数.应选(A).
14. 设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0.则方程
在(a,b)内的根有______
A B C D
B
[解析] 令
则F(x)在[a,b]上连续,而且
故F(x)在(a,b)内有根.
又
所以F(x)单凋增加,它在(a,b)内最多只有一个根.应选(B).
17.
则______
- A.F(x)为f(x)的一个原函数
- B.F(x)在(-∞,+∞)上可微,但不是f(x)的原函数
- C.F(x)在(-∞,+∞)上不连续
- D.F(x)在(-∞,+∞)上连续,但不是f(x)的原函数
A B C D
D
[解析] 请看通常的解法:
求积分并用连续性确定积分常数,可得
但是
所以
根据原函数定义,F(x)不是f(x)在(-∞,+∞)上的原函数.
请考生思考,我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上,由于f(x)有第一类间断点,所以F(x)必然不是其原函数,而变限积分存在就必连续,所以答案自然选择(D).
19. 设
则F(x)______
A B C D
A
[解析] 因e
sinxsinx是以2π为周期的周期函数,所以
又e
sinxcos
2x≥0,故选(A).
21. 设f(x)是以T为周期的可微函数,则下列函数中以T为周期的函数是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 当g(x+T)=g(x)时,因为
因为,f(x)是以T为周期的函数,所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数,但是仅
因此,只有
是以T为周期的函数.
22. 下列反常积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 选项(A)中,
在选项(B)中,
在选项(C)中,
在选项(D)中,
23. 以下4个命题,正确的个数为______
①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则
必收敛,且
②设f(x在(-∞,+∞)上连续,且
存在,则
必收敛,且
③若
与
都发散,则
未必发散;
④若
与
都发散,则
未必发散.
A B C D
A
[解析]
都收敛,此时
设f(x)=x,则,f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,且
但是
故
发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
设f(x)=x,g(x)=-x,由上面讨论可知
都发散,但
收敛,这表明命题③是真命题.故应选(A).
24. 由曲线
与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
25. 抛物线y
2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积为______
A.
B.18
C.
D.8
A B C D
B
[解析] 选积分变量为y(如下图),两条曲线的交点
所求面积
二、填空题1.
[解析]
2. 已知
是f(x)的原函数,则
3. x
x(1+lnx)的全体原函数为______.
xx+C,其中C为任意常数
[解析] 因为(x
x)'=(e
xlnx)'=x
x(1+lnx),所以
4.
[解析]
5.
[解析]
6. 若
且x=at+b(a≠0),则
F(t)+C,其中C为任意常数
[解析] 因F'(x)=f(x),故F'(t)=f(t),于是
7.
[解析]
8. 设f'(e
x)=1+x,则f(x)=______.
xlnx+C,其中C为任意常数
[解析] 设u=e
x,则x=lnu,由f'(e
x)=1+x,得
因此f(x)=xlnx+C.
9.
[解析]
10. 将
分解为部分分式的形式为______.
11. 设f(x)的一个原函数为lnx,则f'(x)=______.
[解析] 由题设,
12. 已知函数F(x)的导数为
且
则F(x)=______.
13.
[解析]
15.
[解析]