填空题1. 若
则f(x)=______.
2.
[解析]
3.
[解析]
5. 函数
的递减区间为______.
[e2,+∞)
[解析] 需要考虑F(x)的导函数
令F'(x)≤0,即得x≥e
2.
6. 已知
则
-1
[解析] 此积分的计算要用分部积分法,
7. 设
,a为常数,则
a
[解析] f(x)是抽象函数.不能具体地计算积分,要用积分中值定理,然后再计算极限.
所以
8. 定积分
[解析] x
2sinx是奇函数,故在
上的定积分值为0.
9. 设f(x)连续,f(0)=1,则曲线
在(0,0)处的切线方程是______.
y=x
[解析] 曲线在(0,0)处切线斜率
所以曲线在(0,0)处,切线方程为y=x.
11.
0
[解析] 被积函数
是奇函数,在对称区间[-2,2]上积分为零.
12. 设f(x)为连续函数,且
则F'(x)=______.
[解析] 由变限积分求导公式
可知,
13.
1
[解析]
14. 设f(x)连续,则
15. 设曲线y=f(x)与
在原点处有相同切线,则
2
[解析] 由已知条件知f(0)=0,
故得
16.
(a为常数,n为自然数).
0
[解析] 显然
积分难以积出.考虑积分中值定理,
其中ξ
x介于x与x+a之间.所以
17. 设f(x)是连续函数,且
则f(7)=______.
[解析] 要从变上限积分得到被积函数,可以对变限积分求导.等式两边对x求导得
令x=2,即得
18. 设
,则
19. 设
则a=______.
2
[解析]
又
所以e
a=(a-1)e
a,a=2.
20. 设
是f(x)的一个原函数,则
21.
22. 设f(x)有一个原函数
,则
23.
[解析]
24.
[解析]
25.
π
[解析]
26.
2(e2+1)
[解析]
27. 设f'(sin
2x)=cos
2x+tan
2x(0<x<1),则f(x)=______.
28. 设y=y(x),若
y(0)=1,且x→+∞时,y→0,则y=______.
e-x
[解析] 由已知得
由不定积分定义有
所以
即
分离变量,两边积分,再由已知条件得结果y=e
-x.
29. 设f(x)连续,则
xf(x2)
[解析]
30.
sinx2
[解析] 令x-t=u,
31. 设n是正整数,则
[解析]
得
事实上,
当f(x)+f(a-x)便于积分时可简化定积分
的计算.
当f(x)+f(a+b-x)便于积分时可简化定积分
的计算.
32.
[解析]
33. 定积分中值定理的条件是f(x)在[a,b]上连续,结论是______.
在[a,b]上至少存在一点ξ,使
34. 曲线y=x
2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为______.
4.5
[解析] 平面图形面积
35.
1
[解析]
36.
[解析] 令
则x=t
2+2,dx=2tdt,
37. 反常积分
38. 反常积分
39. 抛物线y
2=ax(a>0)与x=1所围面积为
,则a=______.
1
[解析] y
2=ax与x=1所围面积
所以
40. 由曲线y=x
3,y=0及x=1所围图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为______.
[解析] 该旋转体体积
41. 函数y=lnx在区间[1,e]上的平均值为______.
[解析] 平均值