一、选择题2. 设n维列向量组α
1,α
2,…,α
m(m<n)线性无关,则n维列向量组β
1,β
2,…,β
m线性无关的充分必要条件为______
- A.向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表出
- B.向量组β1,β2,…,βm可由向量组α1,α2,…,αm线性表出
- C.向量组α1,α2,…,αm向量组β1,β2,…,βm等价
- D.矩阵A=[α1,α2,…,αm]与矩阵B=[β1,β2,…,βm]等价
A B C D
D
[解析] A=[α
1,α
2,…,α
m],
β
2,…,β
m线性无关(已知α
1,α
2,…,α
m线性无关时).
3. 当x→0时,下列四个无穷小中,哪一个是比其他三个高阶的无穷小?______
A.x
2 B.1-cosx
C.
D.x-tanx
A B C D
D
[解析] 利用等价无穷小结论,
由于当x→0时,
,
,所以当x→0时,B,C与A是同阶的无穷小,由排除法,故选D.
4. 已知α
1=(1,1,-1)
T,α
2=(1,2,0)
T是齐次方程组Ax=0的基础解系,那么下列向量中Ax=0的解向量是______
- A.(1,-1,3)T.
- B.(2,1,-3)T.
- C.(2,2,-5)T.
- D.(2,-2,6)T.
A B C D
B
[解析] 如果(A)是Ax=0的解,则(D)必是Ax=0的解.因此(A)、(D)均不是Ax=0的解.
由于α
1,α
2是Ax=0的基础解系,那么α
1,α
2可表示Ax=0的任何一个解η,亦即方程组x
1α
1+x
2α
2=η必有解.因为
可见第2个方程组无解,即(2,2,-5)
T不能由α
1,α
2线性表出.
[评注] 本题知道正确的选项必在(B)和(C)中,其实只要解其中的一个方程组就可以了,是没有必要象现在这样解两个方程组的,但如果有的题目确实需要解两个系数矩阵一样的方程组时,用本题的方法是简捷可取的.
6. 设{a
n}收敛,{b
n}发散.则______
- A.{anbn}必收敛.
- B.{anbn}必发散.
- C.{an+bn}必收敛.
- D.{an+bn}必发散.
A B C D
D
[解析] b
n=a
n+b
n-a
n.若
存在,又因
存在,所以
存在.与{b
n}发散矛盾.故
不存在,即{a
n+b
n}发散.
7. 方程
根的个数______
A B C D
B
[解析] 设
,则F(x)在(-∞,+∞)内连续,又
0,
,由零点定理得F(x)=0至少有一个根.
又易知
且当x∈(-∞,+∞)时,
(等号仅当x=0成立),又0<e
-cos2x≤1,-1≤sinx≤1,所以有-1≤e
-cos2xsinx≤1,又F′(0)=1>0,因此F′(x)>0,从而有F(x)在(-∞,+∞)严格单调递增,由此,F(x)=0最多有一实根.
综上,F(x)=0在(-∞,+∞)上有且仅有一个实根,故选B.
8. 有下列命题正确的是______。
①若
收敛,则
收敛
②若
收敛,则
收敛
③若
,则
发散
④若
收敛,则
收敛
A B C D
B
[考点] 级数的敛散性
[解析] 因级数
删除前1000项而得,故当
收敛时,去掉有限项依然收敛,因此
收敛。
若
,则存在正整数N,使得n≥N是u
n不变号。若u
n>0,有正项级数的比值判别法知
发散。同理可知,如果u
n<0,则正项级数
发散,因此
发散。故②③正确,选B。
二、填空题1. 差分方程y
t+1-y
t=t·2
t的通解为______.
yt=c+(t-2)·2t.
[解析] 对应齐次差分方程y
t+1-y
t=0的通解为y
t=c,设非齐次方程的特解为
,将其代入原方程可得a=1,b=-2,故原方程的通解为
y
t=c+(t-2)·2
t.
2. 求y″+4y=cos2x的特解______.
[解析]
3. 设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则
0.6
[解析] 由P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3及P(A)=0.7,得P(AB)=0.4,则
.
4.
[解析]
三、解答题1. 设
证明:当x∈[0,1]时,
证明:因f(0)=f(1)=0,f(x)在[0,1]上可导,所以在[0,1]上存在最大值和最小值.又
当f'(x)=0时,得(0,1)内唯一驻点
且当x∈(0,x
0)时,f'(x)>0;当x∈(x
0,1)时,f'(x)<0.所以
是极大值点,也是[0,1]上的最大值点.最大值为
综上可证,当x∈[0,1]时,
2. 已知矩阵
,试求可逆矩阵P,使P
-1AP=B.
解:由
,得到矩阵A的特征值:λ
1=λ
2=0,λ
3=1.
对应于λ
1=λ
2=0,解齐次线性方程组(0E-A)x=0,得基础解系:
α
1=(-2,1,0)
T,α
2=(-3,0,1)
T.
对应于λ
3=1,解齐次线性方程组(E-A)x=0,得基础解系:α
3=(1,0,0)
T.
令
由
,得到矩阵B的特征值:
λ
1=λ
2=0,λ
3=1.
对应于λ
1=λ
2=0,解齐次线性方程组(0E-B)x=0,得基础解系:
β
1=(1,1,0)
T,β
2=(-2,0,1)
T.
对应于λ
3=1,解齐次线性方程组(E-B)x=0,得基础解系:β
3=(2,1,0)
T.
令
由
记
P即为所求可逆矩阵.
[解析] 因为A和B均与对角矩阵
相似,可有
从而
,可知P
-1AP=B,其中
.
3. 设{X
n}是一随机变量序列,X
n的密度函数为:
试证:
证明:对任意给定的ε>0,由于
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令4. 证明:F'(x)单调增加.
证明:
因为F"(x)=2f(x)>0,所以F'(x)为单调增加的函数.
5. 当x取何值时,F(x)取最小值?
解:因为
且f(x)为偶函数,所以F'(0)=0,又因为F"(0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点.
故最小值为
6. 当F(x)的最小值为f(a)-a
2-1时,求函数f(x).
解:由
两边求导得
2af(a)=f'(a)-2a,
于是f'(x)-2xf(x)=2x,
解得f(x)=[∫2xe
∫-2xdxdx+C]e
-∫-2xdx=Ce
x2-1,
在
中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=2e
x2-1.
7. 设y=f(lnx)e
f(x),其中f可微,计算
解:
8. 设函数f(x)在定义域Ⅰ上的导数大于零,若对任意x
0∈Ⅰ,曲线y=f(x)在点(x
0,f(x
0))处的切线与直线x=x
0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x)表达式。
解:曲线的切线方程为y-f(x
0)=f'(x
0)(x-x
0),切线与x轴的交点为
,故由切线、直线x=x
0及x轴所围成区域的面积为:
=4,故f(x)满足的方程为f
2(x)=8f'(x),此为可分离变量的微方程,即
,
积分得
,又由于f(0)=2,带入可得C=-4,从而
。
[考点] 微分方程的求解。
9. 设f'(x)=arccosx且f(0)=0,求定积分
。
[考点] 利用基本积分公式、分部积分法、换元法、牛顿-莱布尼茨公式求解定积分。