一、选择题1. 已知A,B,A+B,A
-1+B
-1均为n阶可逆阵,则(A
-1+B
-1)
-1等于______
- A.A+B
- B.A-1+B-1
- C.A(A+B)-1B
- D.(A+B)-1
A B C D
C
[解析] 方法一 验算
(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B
=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E,
故(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B.
方法二 直接计算
(A-1+B-1)-1=[B-1(BA-1+E)]-1=[B-1(B+A)A-1]-1
=A(A+B)-1B.
3. 幂级数
的收敛域是______
- A.[-1,+1].
- B.[-1,1).
- C.(-1,1].
- D.(-1,1).
A B C D
B
[解析] 因为
所以,收敛半径r=1.
当x=-1时,原级数变为交错级数
.
因为
,所以|a
n|单调减;又由
,得
即有|a
n|<
,符合莱布尼茨条件,所以
收敛.
当x=1时,正项级数
发散.因为
综上,原幂级数的收敛域为[-1,1),选择B.
5. 设A为n阶矩阵,下列命题正确的是______
- A.若α为AT的特征向量,那么α为A的特征向量
- B.若α为A*的特征向量,那么α为A的特征向量
- C.若α为A2的特征向量,那么α为A的特征向量
- D.若α为2A的特征向量,那么α为A的特征向量
A B C D
D
[解析] ①矩阵A
T与A的特征值相同,但特征向量不一定相同,故(A)错误.
②假设α为A的特征向量,λ为其特征值,当λ≠0时α也为A
*的特征向量.这是由于
但反之,α为A
*的特征向量,那么α不一定为A的特征向量.例如:当r(A)<n-1时,A
*=O,此时,任意n维非零列向量都是A
*的特征向量,故A
*的特征向量不一定是A的特征向量.可知(B)错误.
③假设α为A的特征向量,λ为其特征值,则α为A
2的特征向量.这是由于
A
2α=A(Aα)=λAα=λ
2α.
但反之,若α为A
2的特征向量,α不一定为A的特征向量.例如:假设Aβ
1=β
1,Aβ
2=-β
2,其中β
1,β
2≠0.此时有A
2(β
2+β
2)=A
2β
1+A
2β
2=β
1+β
2,可知β
1+β
2为A
2的特征向量.但β
1,β
2是矩阵A两个不同特征值的特征向量,它们的和β
1+β
2不是A的特征向量.故(C)错误.
④若α为2A的特征向量,则存在实数λ使得2Aα=λα,此时有
因此α为A的特征向量.可知(D)是正确的.故选(D).
7. 设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为α
1,α
2,α
3,令P=(3α
2,-α
3,2α
1),则P
-1AP等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 显然3α
2,-α
3,2α
1也是特征值1,2,-1的特征向量,所以
选C.
8. 设f(x,y)连续,且
其中D:x
2+y
2=2x,则f(x,y)=______
- A.xy.
- B.xy+1.
- C.xy+2.
- D.2xy.
A B C D
A
[解析] 令
则f(x,y)=xy+2A,两边对x,y在D上积分,得
因为D:x
2+y
2=2x关于x轴对称,被积函数xy关于y为奇函数,所以
于是A=2Aπ,即A=0,故f(x,y)=xy.
二、填空题1. 设当|x|<1时,
(x+1)f(x)dx=arcsinx+C.则
=______.
[解析] 由
(x+1)f(x)dx=arcsinx+C,有(x+1)f(x)=
.
从而
,于是
其中第二个积分可由积分变量变换x=sint求得.
2. 函数
的第一类间断点为x=______.
-1
[解析] 函数f(x)的间断点分别为x=5,-2,-1
其中
故x=-1为可去间断点,属于第一类间断点.
3. 设X为总体,(X
1,X
2,…,X
n)为来自总体X的样本,且总体的方差DX=σ
2,令
,则
[解析]
4. 设A为n阶可逆矩阵(n≥2),则E(A*)*]
-1=______(用A*表示).
[解析] 由A*=|A|A
-1得
(A*)*=|A*|·(A*)
-1=|A|
n-1·(|A|A
-1)
-1=|A|
n-2A,
故
5. 将
化为极坐标下的二次积分为______.
6. 设f'(sin
2x)=cos
2x+tan
2x(0<x<1),则f(x)=______.
三、解答题1. 设X
1,X
2,…,X
n独立同分布,X
2的取值有四种可能,其概率分布分别为:
p
1=1-θ,p
2=θ-θ
2,p
3=θ
2-θ
3,p
4=θ
3,记N,为X
1,X
2,…,X
n中出现各种可能的结果的次数,N
1+N
2+N
3+N
4=n.确定a
1,a
2,a
3,a
4使
为θ的无偏估计.
解:由于N
i~B(n,p
i),i=1,2,3,4,所以E(N
i)=np
i,从而有:
若使T是θ的无偏估计,即要求
解之得:
即
是θ的无偏估计.
2. 求微分方程y"+4y'+4y=e
ax的通解.
解:特征方程为λ
2+4λ+4=0,特征值为λ
1=λ
2=-2,原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C
1+C
2x)e
-2x.
(1)当a≠-2时,因为a不是特征值,所以设原方程的特解为y
0(x)=Ae
ax,代入原方程得
则原方程的通解为
(2)当a=-2时,因为a=-2为二重特征值,所以设原方程的特解为y
0(x)=Ax
2e
-2x,代入原方程得
则原方程的通解为
3. 设向量α
1=(1,-1,2,-1)
T,α
2=(-3,4,-1,2)
T,α
3=(4,-5,3,-3)
T,α
4=(-1,λ,3,0)
T,β=(0,k,5,-1)
T.
试问λ,k取何值时,β不能由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出?λ,k取何值时,β可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出?并写出线性表达式.
本题相当于讨论线性方程组
何时有解,无解.
当k≠1,λ=2时,β不能由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出;当k=1,λ=2时,β可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出,且表示法不唯一.
所以β=(3-k
1-2k
2)α
1+(1+k
1-k
2)α
2+k
1α
3+k
2α
4(其中k
1,k
2为任意常数).
当λ≠2,k为任意值时,β可由α
1,α
2,α
3,α
4线性表出,且表示法不唯一.
其中λ≠2,k,μ为任意常数.
4. 将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
解:设铁丝分成的三段绳长分别为x,y,z,则x+y+z=2.
对应圆的面积为
对应正方形的面积为
对应正三角形的面积为
则三个图形的面积之和为
构造辅助函数
从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题.
从而得唯一驻点
由问题的实际背景可知,在该驻点处,S取得最小值.因此
5. 设X
1,…,X
n是取自总体X一个简单随机样本,X的概率密度为
,
(Ⅰ)求未知参数θ的矩估计量;
(Ⅱ)求未知参数θ的最大似然估计量。
解:(Ⅰ)EX=
,所以θ的矩估计为
。
(Ⅱ)似然
解得
,所以θ的最大似然估计为
。
[考点] 参数估计
6. 求函数y=e
xcosx的极值.
解:极值可疑点
y"=-2e
xsinx,当
时,y"<0,所以
为极大值点,极大值为
当
时,y">0,所以
为极小值点,极小值为
7. 设总体X的概率密度为
,其中θ是未知参数(0<θ<1)。
X
1,…,X
n为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x
1,x
2,…,x
n中小于1的个数,求:
(Ⅰ)θ的矩估计;
(Ⅱ)θ的最大似然估计。
解:(Ⅰ)由于
,
令
,解得
,所以参数θ的矩估计为:
。
(Ⅱ)似然函数为
,
取对数,得lnL(θ)=Nlnθ+(n-N)ln(1-θ),两边对θ求导,得
。
令
,得
,所以θ的最大似然估计为:
。
[考点] 参数估计
8. 设X
1与X
2相互独立,且服从相同的分布N(μ,σ
2),试证明
证明:[方法一] 由随机变量函数的数学期望公式,有
于是
[方法二]
[解析] 本题仍是一个二维随机变量函数的数学期望问题,可按其公式计算.我们给出两种不同解法,其中解法一的积分技巧是较强的,而解法二的技巧在于作恰当的变换.
9. 设0<k<1,f(x)=kx-arctanx.证明:f(x)在(0,+∞)中有唯一的零点,即存在唯一的x
0∈(0,+∞),使f(x
0)=0.
证明:令
则
而
所以f(x)在
处取极小值,即
由f(x)的连续性,在
中有一个零点,另外f(0)=0,f(x)在
单调减少,在
单调增加,故这样的零点是唯一的.