一、选择题1. 下列反常积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 通过具体计算可知(C)收敛.命x=sect,
作为练习,建议读者具体计算并A、B、D,可知它们都发散.
3. 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因D是对称阵,必相似于对角阵,C有三个不同的特征值,能相似于对角阵.A,B的特征值均为λ=1(2重),λ=2(单根).当λ=1时,
只对应一个线性无关的特征向量。故A不能相似于对角阵.
而λ=1时,
有两个线性无关特征向量,故B能相似于对角阵,故选A.
4. 设n维列向量α
1,α
2,α
3线性无关,向量β
1可由α
1,α
2,α
3线性表示,向量β
2不可由α
1,α
2,α
3线性表示,则对任意常数k,必有______.
- A.α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关
- B.α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关
- C.α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关
- D.α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关
A B C D
A
[考点] 向量组线性关系的判别.
[解析] 对于抽象的向量组可以用定义法,也可以用排除法.
解:设有一组数字λ1,λ2,λ3,λ4,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0,
若λ4=0,则有条件λ1=λ2=λ3=0,从而推出α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关.
若λ4≠0,则kβ1+β2可由α1,α2,α3线性表示,而β1可由α1,α2,α3线性表示,故β2也可由α1,α2,α3线性表示,矛盾,所以,λ4=0,从而A正确.对于其余三个选项,也可用排除法.
当k=0时,可排除B、C;当是k=1时,可排除D.
故应选A.
8. 下列命题中正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查级数敛散性的判别,常用的方法有比值判别法、比较判别法、根值判别法,但要求是正项级数。
[解析] 莱布尼茨判别法针对的是交错级数。
(D)项,若
绝对收敛,则
收敛,因此可得
是u
n的高阶无穷小,根据正项级数判别法,低阶收敛能推出高阶收敛,因此
收敛。所以(D)项正确。
(A)项,若
,那么级数
收敛,但是
是发散的,所以(A)项错误。
(B)项,由于没有说明u
n是正项级数,因此不能根据
收敛,所以(B)项错误。
(C)项,令
根据交错级数收敛的判别法可知
收敛,但是
是发散的,所以(C)项错误。
二、填空题1. 设随机变量X~N(1,2),Y~N(-1,2),Z~N(0,9)且随机变量X,Y,Z相互独立,已知a(X+Y)
2+bZ
2~χ
2(n),则a=______,b=______,n=______.
2
[解析] 由X~N(1,2),Y~N(-1,2),Z~N(0,9),得X+Y~N(0,4)
且
,故
2. 已知y
1=xe
x+e
2x,y
2=xe
x+e
-x,y
3=xe
x+e
2x-e
-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为______.
y"-y'-2y=(1-2x)ex.
[解析] y1-y2=e2x-e-x,y1-y3=e-x都是相应齐次方程的解.
而(y1-y2)+(y1-y3)=e2x也是齐次方程的解,e2x与e-x是两个线性无关的解,而y2=xex+e-x是非齐次方程的解,从而y2-e-x=xex也是非齐次方程的解,由e-x,e2x是齐次方程的解,可知特征根r1=-1,r2=2,特征方程为(r+1)(r-2)=0,即r2-r-2=0.设所求非齐次方程为y"-y'-2y=f(x).将非齐次解xex代入,得
f(x)=(xex)"-(xex)'-2xex=(1-2x)ex
故所求方程为y"-y'-2y=(1-2x)ex.
3. 设m、n为某两正数,则
(x
ne
-x+x
-mlnx)=______.
0
[解析]
若n为某正整数,则连续使用n次洛必达法则后,分子成为常数,分母仍为e
x,从而知极限为0.若n为某正数但非整数,则使用了[n]次洛必达法则后,分子为x
k,k=n-[n],0<k<1.再做一次洛必达法则,可见极限为0.总之
.
对于
.
再由和的极限等于极限的和,有
(x
ne
-x+x
-mlnx)=0.
有时应将一个极限拆成若干有限个极限的和分别用洛必达法则计算,当然这里要求拆开之后的各个极限应分别存在才行.
4. 函数f(x)=ln(3-2x-x
2)的麦克劳林展开式为______.
[解析] 由3-2x-x
2=(3+x)(1-x)知
ln(3-2x-x
2)=1n(3+x)+ln(1-x)
展开式的成立范围是-1<
≤1与-1≤x<1的公共部分,即-1≤x<1.
必须记住五个基本初等函数的麦克劳林展开式:
5. 微分方程y'=(1-y
2)tanx满足y(0)=2的特解为y=______.
[解析] 分离变量,两边积分,得
则
(*)
改写任意常数并化简,得
.由初始条件y(0)=2,得
所以特解为
6. 设函数
f(x)在(-∞,+∞)上连续,则A=______.
[解析] 令函数
其中g(x),h(x)分别在[a,x
0],(x
0,b]是初等函数,因而是连续的.因此f(x)在x
0连续,所以需g(x
0)=h(x
0).
对任意常数A,显然x≠1时f(x)连续.仅当
时,f(x)在x=1连续.
因此,当
时,f(x)在(-∞,+∞)上连续.
三、解答题1. 假设一设备开机后无故障工作的时间x服从指数分布,平均无故障工作的时间EX为5h.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2h便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).
解:设X的分布参数为λ.由于
显然,Y=min{X,2}.
对于y<0,F(y)=0;对于y≥2,F(y)=1.设0≤y<2,
有
于是,Y的分布函数为
设A,B为n阶矩阵.2. 是否有AB~BA;
解:一般情况下,AB与BA不等价,如
因为r(AB)≠r(BA),所以AB与BA不等价.
3. 若A有特征值1,2,…,n,证明:AB~BA.
证明:因为|A|=n!≠0,所以A为可逆矩阵,取P=A,则有P-1ABP=BA,故AB~BA.
4. 设两随机变(X,Y)的概率密度为
,求
(Ⅰ)常数k的值;
(Ⅱ)(X,Y)的边缘密度和条件密度;
(Ⅲ)P{X+Y≤1}的值。
解:(Ⅰ)
,故k=2。
(Ⅱ)f
X(x)=
f
Y(y)=
(Ⅲ)
[考点] 二维随机变量的概率分布
5. 设u=f(x,z),且z=z(x,y)是由方程z=x+yφ(z)所确定的隐函数,其中f具有连续偏导数,且φ具有连续导数,求du。
解:取全微分du=f
xdx+f
zdz,dz=
,故
。
[考点] 求全微分
6. 设随机变量X的数学期望和方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ
2,用切比雪夫不等式估计P{|X-μ|<3σ}.
解:
7. 设f(x)在[0,+∞)连续,且
证明至少存在一点ξ∈(0,+∞),使得f(ξ)+ξ=0.
证明:作函数F(x)=f(x)+x,有
所以由积分中值定理知,存在a∈[0,1],使
即F(a)<0.
又
所以,由极限的保号性知,存在b>0,使
,即F(b)>0.
因此,由零点定理知,至少存在一个
,使F(ξ)=0,即f(ξ)+ξ=0.
8. 已知
解:
9. 设二维随机变量(X,Y)服从D={x,y)||x|+|y|≤1}上的均匀分布,令
(Ⅰ)求(U,V)的概率分布和Cov(U,V);
(Ⅱ)求(U,v)的分布函数.
解:(Ⅰ)D如图所示.
(X,Y)的概率密度函数为
图中4个小等腰三角形和4个小矩形的面积都是D的面积的
(U,V)=(-1,-1),(1,1),(1,-1),(1,1),
则
所以U(U,V)的概率分布为
由概率分布知
故
(Ⅱ)由(U,V)的概率分布得(U,V)的分布函数为