一、选择题1. 若连续函数满足关系式
,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由题意
,所以,f(1)=e.
又
,解此方程有
因f(1)=e,所以得C=1,于是
,故选C.
3. 设A是三阶矩阵,其中a
11≠0,A
ij=a
ij,i=1,2,3,j=1,2,3,则|2A
T|=______
A B C D
D
[解析] |
|=2
3|A
T|=8|A|.
故A
*=A
T AA
*=AA
T=|A|E,两边取行列式,得
|AA
T|=|A|
2=||A|E|=|A|
3 得 |A|
2(|A|-1)=0
a
11≠0,|A|=a
11A
11+a
12A12
+a
13A
13=
>0
故 |A|=1,从而 |2A
T|=8.
4. 设M=
,其中D={(x,y)|x
2+y
2<1},则______
- A.M<N<P。
- B.N<M<P。
- C.M=N<P。
- D.M=P<N。
A B C D
C
[考点] 本题考查积分大小的比较,积分区域相同时,比较被积函数的大小,求解积分时可通过对称区间被积函数的奇偶性简化计算。
[解析]
因为积分区域D关于x轴和y轴都对称,x
3和3xy
2是关于x的奇函数,3x
2y和y
3是关于y的奇函数,所以根据对称性可得M=0。
因为积分区域D关于x轴和y轴都对称,sinxcosy是关于x的奇函数,sinxcosy是关于y的奇函数,所以根据对称性可得N=0。
因为积分区域为D={(x,y)|x
2+y
2<1},则有e
|x+y|-1>0,即P>0。故M=N<P。
5.
的渐近线的条数为______.
A B C D
C
[解析] 由
为两条水平渐近线;
由
得x=-1与x=0为铅直渐近线;
由
得曲线没有斜渐近线,故曲线共有4条渐近线,选C.
7. 设a
n>0,且
收敛,
,则级数
______
- A.绝对收敛.
- B.条件收敛.
- C.发散.
- D.敛散性与λ有关.
A B C D
A
[解析] 注意到
,又因为
收敛,所以该级数绝对收敛.
二、填空题1. 设f(x)在x=0处连续,且
,则f'(0)=______.
-1
[解析] 因
,所以存在
(0),当x∈
(0)时,
所以 f(x)=ln(ax+cosx-sinx).
由于f(x)在x=0处连续,所以
所以f'(0)=-1.
求极限(Δ)时,不能直接用洛必达法则,因为不知道这里的α是否可求导数.
2. 已知齐次线性方程组
有通解,k
1[2,-1,0,1]
T+k
2[3,2,1,0]
T,则方程组
的通解是______.
k(17,9,5,1)T,k是任意常数
[解析] 方程组(2)的通解必在方程组(1)的通解之中,是方程组(1)的通解中满足(2)中第3个方程的解,令(1)的通解
满足(2)的第3个方程,得(2k
1+3k
2)-2(-k
1+2k
2)+0k
2+k
1=0
得5k
1=k
2 代入(1)的通解,得k
1(2,-1,0,1)
T+5k
1(3,2,1,0)
T=k
2(17,9,5,1)
T (其中k
1是任意常数),是方程组(2)的通解.
3. 设
则f'(0)=______.
[解析] 分段函数分界点处求导数应按定义做.
因
由等价无穷小替换,
所以
4. 设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),则E(X
4e
X)=______.
[解析] 因为X的概率密度函数为
由随机变量函数的期望计算有
因为X
2~χ
2(1),所以D(X
2)=2,即
D(X
2)=E(X
4)-E(X
2)
2=E(X
4)-1=2,
从而E(X
4)=3,所以
E(X
4e
X)=
[E(X
4)+6E(X
2)+1]=10
.
5. 设
其中f连续,则φ"(x)=______.
[解析]
6.
=______.
[解析] 先作代换1/x=t,再用换底法求其极限.
原式
三、解答题1. 设A=(a
ij)
n×n,且
求r(A
*)及A
*.
解:
i=1,2,…,n,可知|A|=0.r(A)≤n-1.当r(A)=n-1时,有r(A
*)=1,r(A)<n-1,r(A
*)=0,故有r(A
*)≤1.
r(A
*)=1时,A
*=αβ
T,其中α,β为非零向量;r(A
*)=0时,A
*=O,
2. 抛物线y
2=2x把圆x
2+y
2=8分成两个部分,求左右两个部分的面积之比.
解:设左边的面积为S
1,右边的面积为S
2,
3. 设
计算
设随机点(X,Y)在单位圆内的联合密度为
4. 求常数C;
解:
5. 判断X,Y的独立性与相关性;
解:
即
由于f
X(x)·f
Y(y)≠f(x,y),所X,Y不独立.
又
所以cov(X,Y)=EXY-EX·EY=0.由此可知X、Y既不独立,也不相关.
6. 设随机点的极坐标为(R,θ),求(R,θ)的联合密度,并判断R,θ的独立性.
解:直角坐标到极坐标的变换x=rcosθ,y=rsinθ,其雅可比行列式J=r,故(R,θ)的联合密度为
又
由于f(r,θ)=f
R(r)·f
θ(θ),故随机变量R,θ相互独立.
7. 设总体X的分布律为P(X=k)=(1-p)
k-1p(k=1,2,…),其中p是未知参数,X
1,X
2,…,X
n为来自总体的简单随机样本,求参数p的矩估计量和极大似然估计量.
解:
,令
,得参数p的矩估计量为
.
令
得参数p的极大似然估计量为
.
8. 计算积分
,其中D是第一象限中以曲线
与x轴为边界的无界区域.
解:
9. 设α
1,α
2,…,α
s和β
1,β
2,…,β
t是两个线性无关的n维向量组,证明:向量组α
1,α
2,…,α
s,β
1,β
2,…,β
t线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ,γ既可由α
1,α
2,…,α
s线性表出,也可由β
1,β
2,…,β
t线性表出.
证明:必要性.因为α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性相关,故存在不全为0的k1,k2,…,ks,l1,l2,…,lt使得 k1α2+k2α2+…+ksαs+l1β1+l2β2+…+ltβt=0,令
γ=k1α1+k2α2+…+ksαs=-l1β1-l2β2-…-ltβt,
则必有γ≠0.否则
k1α1+k2α2+…+ksαs=0 且-l1β1-l2β2-…-ltβt=0.
由于α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt均线性无关,故k1=k2=…=ks=0,l1=l2=…=lt=0,这与k1,k2,…,ks,l1,l2,…,lt不全为0相矛盾.从而有非0的γ,它既可由α1,α2,…,αs线性表出,也可由β1,β2,…,βt线性表出.
充分性.由于有非0的γ使
γ=x1α1+x2α2+…+xsαs 且γ=y1β1+y2β2+…+ytβt,
那么x1,x2,…,xs与y1,y2,…,yt必不全为0.从而
x1α1+x2α2+…+xsαs-y1β1-y2β2-…-ytβt=0,
即α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性相关.