一、选择题1. 已知级数
收敛,则下列级数中必收敛的是______
A.
B.
C.
D.
,k为正整数.
A B C D
D
[解析] 由于
,而级数
为原级数
去掉了前k项,则其敛散性相同,故
必收敛,应选D.
2. 设随机变量
X
1~N(0,1),X
2~B(1,1/2),X
3服从于参数为λ=1的指数分布.设
则矩阵A一定是______
- A.可逆矩阵
- B.不可逆矩阵
- C.正定矩阵
- D.反对称矩阵
A B C D
A
[解析] 先根据随机变量X
i(i=1,2,3)的分布求出期望E(X
i)、
与方差D(X
i).
因E(X
1)=0,D(X
1)=1,
,
E(X
2)=np=1·(1/2)=1/2,D(X
2)=np(1-p)=1·(1/2)(1/2) =1/4,
=D(X
2)+E
2(X
2)=1/4+1/4=1/2,
E(X
3)=1,D(X
3)=1,
=D(X
3)+E
2(X
3)=2,
故
A为可逆矩阵,所以仅A入选.
4. 设{a
n}与{b
n}为两个数列,下列说法正确的是______.
A.若{a
n}与{b
n)都发散,则{a
nb
n}一定发散
B.若{a
n}与{b
n)都无界,则{a
nb
n}一定无界
C.若{a
n}无界且
,则
D.若a
n为无穷大,且
,则b
n一定是无穷小
A B C D
D
[解析] A不对,如a
n=2+(-1)
n,b
n=2-(-1)
n,显然{a
n}与{b
n}都发散,但a
nb
n=3,显然{a
nb
n}收敛;B、C都不对,如a
n=n[1+(-1)
n],b
n=n[1-(-1)
n],显然{a
n}与{b
n}都无界,但a
nb
n=0,显然{a
nb
n}有界且
;正确答案为D.
5. 设
在(-∞,+∞)内连续,且
.则常数a,b应满足的充要条件是______
- A.a≤0,b<0.
- B.a>0,b>0.
- C.a≤0,b>0.
- D.a>0,b<0.
A B C D
C
[解析] 由于
在(-∞,+∞)内连续,所以a-e
bx≠0,故a≤0.不选B或D.由于要满足
,故要有
,所以应有b>0.不选A.反之设C成立时,易知f(x)在(-∞,+∞)内连续,再由洛必达法则知,
=
6. 设总体X服从参数λ=2的指数分布,X
1,X
2,…,X
n是来自总体X的简单随机样本,
和S
2分别为样本均值和样本方差,已知
,则a的值为______
A.-1.
B.1.
C.
D.2.
A B C D
A
[解析] 依题意有
,
,又由题设
,
即
,解得a=-1.
故选A.
7. 设A为三阶矩阵,A的特征值为λ
1=λ
2=1,λ
3=3,对应的线性无关的特征向量为α
1,α
2,α
3,令P
1=(α
1+α
3,α
2-α
3,α
3),则
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
8. 设A,B,C均是n阶方阵,满足AB=BC=CA=E,则A
2+B
2+C
2=______
A B C D
D
[解析] AB=BC=CA=E
(AB)(CA)=A(BC)A=A
2=E;
同理可得(CA)(BC)=C
2=E,(BC)(AB)=B
2=E;
故A
2+B
2+C
2=3E.
二、填空题1. 设f(x)为单调函数,且g(x)为其反函数,又设f(1)=2,
,f"(1)=1,则g"(2)=______.
[解析]
2. 设
有三个线性无关的特征向量,则a=______.
4
[解析] 由
得λ
1=-1,λ
2=λ
3=1.
因为A有三个线性无关的特征向量,所以r(E-A)=1,解得a=4.
3. 设随机变量X
1,X
2,X
3相互独立,且
则E[X
1(X
1+X
2-X
3)]为______.
[解析]
4. 设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,且|A|=a,|B|=b,则
(-1)mnab
[解析] 将B的第一行元素分别与A的行对调m次,然后将B的第二行分别与A的行对调m次,如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次,则
5. 设
是f(x)的一个原函数,则
6.
=______.
1
[解析]
三、解答题设随机变量X服从参数为2的指数分布,令求:1. (U,V)的分布;
解:因为X服从参数为2的指数分布,所以X的分布函数为
(U,V)的可能取值为(0,0),(0,1),(1.0),(1,1).
P(U=0,V=0)=P(X≤1,X≤2)=P(X≤1)=F(1)=1-e
-2;
P(U=0,V=1)=P(X≤1,X>2)=0;
P(U=1,V=1)=P(X>1,X>2)=P(X>2)=1-F(2)=e
-4;
P(U=1,V=0)=P(X>1,X≤2)=e
-2-e
-4.
(U,V)的联合分布律为
2. U,V的相关系数.
解:由
得
E(U)=e
-2,E(V)=e
-4,E(UV)=e
-4,E(U
2)=e
-2,E(V
2)=e
-4,则
D(U)=E(U
2)-[E(U)]
2=e
-2-e
-4,D(V)=E(V
2)-[E(V)]
2=e
-4-e
-8,
Cov(U,V)=E(UV)=E(U)E(V)=e
-4-e
-6,
于是
3. 设
求a,b的值.
4. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=
已知E(X)=2,P{1<X<3}=
,求:
(Ⅰ)a,b,c的值;
(Ⅱ)随机变量Y=e
X的数学期望与方差。
解:(Ⅰ)由概率密度的性质,即
f(x)dx=1,可得
根据已知条件,有
联立以上三个等式可得
(Ⅱ)Y=e
X的数学期望为
又因为
因此Y=e
X的方差为
[考点] 本题考查概率密度的性质以及数学期望和方差的计算公式。
5. 设总体X服从区间[a,b]上的均匀分布,其中参数a,b未知,给定总体X的一个简单随机样本X
1,X
2,…,X
n,求参数a,b的矩估计量.
解:因为X~U[a,b],则有
,
.
令
,即
,可得
所以参数a的矩估计量为
,参数b的矩估计量为
,其中
,
.
6. 设Q
1,Q
2与P
1,P
2分别表示两种产品的产量与售价,总成本函数为
.而两种产品的需求函数分别为Q
1=40-2P
1+P
2,Q
2=15+P
1-P
2.问:
(Ⅰ)当两种产品的产量是多少时利润最大?并求出最大利润.
(Ⅱ)此时产品的价格是多少?
解:以Q
1,Q
2为自变量,则需求函数应改写为P
1=-Q
1-Q
2+55,P
2=-Q
1-2Q
2+70,于是,记当总利润为L=L(Q
1,Q
2)时,有
.
令
得
为定义域内唯一的驻点.而
,
,
,
此时,(B
2-AC)|
P0=9-24=-15<0.因此
是唯一的极点,故为最大值点.
即当Q
1=8,
时,利润最大,此时
[考点] 二元函数最值在经济问题中的应用.
7.
解:利用级数的收敛,求数列极限或证明数列收敛.若
收敛,则
对于级数
由
知
绝对收敛,因此
8. 设函数x=x(y)由方程x(y-x)
2=y所确定,试求不定积分
解:令y-x=t,则(y-t)t
2=y,故
从而有
由
得t
3-3t=A(t
3+t
2-t-1)+B(t
2+2t+1)+C(t
3-t
2-t+1)+D(t
2-2t+1)
=(A+C)t
3+(A+B-C+D)t
2+(-A+2B-C-2D)t-A+B+C+D.
比较t的同次幂的系数得
解出
所以
9. 设
,试判断级数
是条件收敛还是绝对收敛或发散.
解:直接求a
n办不到,直接估计a
n也行不通.用分部积分法将a
n分解
记
,易知交错级数
条件收敛.
现估计
.由于
又
绝对收敛.
因此
条件收敛.