一、选择题1. 设函数f(x,y)连续,则二次积分
等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 本题更换二次积分的积分次序,先根据二次积分确定积分区域,然后写出新的二次积分.
由题设可知,
,sinx≤y≤1,则0≤y≤1,π-arcsiny≤x≤π,故应选B.
2. 设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),则概率P{X>a,Y>b}等于______
- A.1-F(a,b).
- B.1-F(a,+∞)-F(+∞,b).
- C.F(a,b)-F(a,+∞)-F(+∞,b)+1.
- D.F(a,b)+F(a,+∞)+F(+∞,b)-1.
A B C D
C
[解析] 设事件A={X≤a},B={Y≤b},则
P{X>a,Y>b}=
=1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)
=1-P{X≤a}-P{Y≤b}+P{X≤a,Y≤b}
=1-F(a,+∞)-F(+∞,b)+F(a,b).
本题也可以直接用平面区域图来求解.
3. 设f(x)在x=1的某邻域内连续,且
则x=1是f(x)的______
- A.不可导点.
- B.可导点但不是驻点.
- C.驻点,且是极大值点.
- D.驻点,且是极小值点.
A B C D
C
[解析] 因为f(x)在x=1连续,所以
.若f(1)≠0,则
,与原给极限等于-4矛盾.所以f(1)=0,并由等价无穷小替换,有
推得
(*)
不选(A)、(B).又由(*)推得
(**)
当
时,f(x)与-1同号,即f(x)<0.而f(1)=0,所以f(1)是极大值.选(C).
4. 设向量组α
1,α
2,α
3,β
1线性相关,向量组α
1,α
2,α
3,β
2线性无关,则对于任意常数k,必有______.
- A.α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关
- B.α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关
- C.α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关
- D.α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关
A B C D
A
[解析] 由于k为任意常数,令k取某些特殊值可以排除错误结论.
解一 当k=0时,显然B、C不成立.
当k=1时,D不成立.事实上,由题设α1,α2,α3,β2线性无关,如果α1,α2,α3,β1+β2线性相关,而α1,α2,α3线性无关,则β1能由α1,α2,α3线性表示,而β2不能,于是β1+β2不能由α1,α2,α3线性表示,所以D不成立.仅A入选.
解二 对于任意常数k,证明A成立.设
l1α1+l2α2+l3α3+l4(kβ1+β2)=0
下证l4=0.若l4≠0,则kβ1+β2可由α1,α2,α3线性表示,由题设知β1能由α1,α2,α3线性表示,因而β2能由α1,α2,α3线性表示.这与α1,α2,α3,β2线性无关相矛盾,所以
l4=0,则上述等式可化为l1α1+l2α2+l3α3=0。
而α1,α2,α3线性无关,故l1=0,l2=0,l3=0,所以α1,α2,α3,kβ1+β3线性无关.
故A正确.
5. 已知du(x,y)=[axy
3+cos(x+2y)dx+[3x
2y
2+bcos(x+2y)]dy,则______
- A.a=2,b=-2
- B.a=3,b=2
- C.a=2,b=2
- D.a=-2,b=2
A B C D
C
[解析] 由du(x,y)=[axy
3+cos(x+2y)]dx+[3x
2y
2+bcos(x+2y)]dy可知,
以上两式分别对y,x求偏导得
由于
连续,所以
即
3axy
2-2sin(x+2y)=6xy
2-bsin(x+2y),
故得a=2,b=2.
6. 把当x→0时的无穷小量α=ln(1+x
2)-ln(1-x
4),
,γ=arctanx-x排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是______
- A.α,β,γ.
- B.γ,α,β.
- C.α,γ,β.
- D.γ,β,α.
A B C D
C
[解析] 我们分别确定当x→0时,α、β、γ,分别是x的几阶无穷小.当x→0时
α=ln(1+x
2)-ln(1-x
4)~x
2 因为ln(1+x
2)~x
2 ln(1-x
4)~-x
4=0(x
2)
,
又由
可知当x→0时,
.
这表明当x→0时,α是关于x的2阶无穷小量,β是关于x的4阶无穷小量,而γ是关于x的3阶无穷小量.按题目的要求,它们应排成α,γ,β的次序.故应选C.
二、填空题1. 设
是矩阵
的特征向量,则a=______,b=______.
2 3
[解析] 由Aα=λα得
解得λ=5,a=2,b=3.
2. 已知函数y=y(x)由方程y-xe
y=1-ex确定,则
=______
0
[解析] 将方程y-xe
y=1-ex两边对x求导,得
3. 曲线ρθ=1相应于
的一段弧长s=______.
[解析] 由已知可得
.则
4. 设
则f'(x)=______.
2x(1+4x)e8x
[解析] 由
得f'(x)=2xe
8x+8x
2e
8x=2x(1+4x)e
8x.
5.
=______.
[解析] 这是反常积分,可以象定积分那样作积分变量变换处理.
为消除根号,命x-1=sect,(x-1)
2-1=sec
2t-1=tan
2t.当x=3时,sect=2,t=
;当x→+∞时,t→
.从而
6. 当x→0时,x-sinxcos2x~cx
k,则c=______,k=______.
3
三、解答题1. 问λ为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.
解:
2.
解:
3. 设a<b,证明:
证明:构造辅助函数
则F(a)=0,且
所以F(b)≤0,即
即
4. 设f(x)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f'(x)=f(x)=a(x-1).y=f(x),x=0,x=1,y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(x).
解:由f'(x)-f(x)=a(x-1)得
f(x)=[a∫(x-1)e
∫-1dxdx+C]e
-∫-dx=Ce
x-ax,
由f(0)=1得C=1,故f(x)=e
x-ax.
由
得a=3,因为
所以当a=3时,旋转体的体积最小,故f(x)=e
x-3x.
5. 设α
1,α
2,…,α
r,β都是n维向量,β可由α
1,α
2,…,α
r线性表示,但β不能由α
1,α
2,…,α
r-1线性表示,证明:α
r可由α
1,α
2,…,α
r-1,β线性表示.
证明:因为β可由α
1,α
2,…,α
r线性表示,设
β=k
1α
1+k
2α
2+…+k
r-1α
r-1+k
rα
r,
又因为β不能由α
1,α
2,…,α
r-1线性表示,则k
r≠0,所以
即α
r可由α
1,…,α
r-1,β线性表示.
6. 对常数p,讨论幂级数
的收敛区间.
解:由
,得幂级数的收敛半径为R=1.
(1)当p<0时,记q=-p,则有
,因而当x=±1时,
发散,此时幂级数的收敛区间为(-1,1),
(2)当0<p<1时,对
,因为
,所以x=1时,级数
发散,当x=-1时,
显然收敛,此时幂级数的收敛区间为[-1,1);
(3)当p>1时,对
,因为
,而
收敛,所以级数
收敛,当x=-1时,
显然绝对收敛,此时幂级数的收敛区间为[-1,1].
7. 求
解:
对一切实数t,f(t)连续,且f(t)>0,f(-t)=f(t)对于函数,-a≤x≤a,则9. 当x为何信时,F(x)取得最小值;
令F'(x)=0,得x=0(由于f(x)>0),所以x=0是F(x)的唯一驻点,又F"(0)=2f(0)>0,故x=0时,
为最小值.
10. 若F(x)的最小值可表示为f(a)-a
2-1,求f(t).
令
,两边同时对a求导,得2af(a)=f'(a)-2a,且令a=0可得f(0)=1,这表明f(t)是微分方程y'-2ty=2t的满足.y(0)=1的解,易得y=f(t)=2e
t2-1.