一、选择题1. 设A
1,A
2是两个随机事件,随机变量
,已知X
1与X
2不相关,则______
- A.X1与X2不一定独立.
- B.A1与A2一定独立.
- C.A1与A2不一定独立.
- D.A1与A2一定不独立.
A B C D
B
[解析] EX
i=P
-P(A
i)=1-2P(A
i),i=1,2,
E(X
1X
2)=P{X
1=-1,X
2=-1}-P{X
1=-1,X
2=1}-P{X
1=1,X
2=-1}+P{X
1=1,X
2=1}=
=P(A
1A
2)-[P(A
1)-P(A
1A
2)]-[P(A
2)-P(A
1A
2)]+1-P(A
1)=P(A
2)+P(A
1A
2)=4P(A
1A
2)-2P(A
1)-2P(A
2)+1,
EX
1EX
2=[1-2P(A
1)][1-2P(A
2)]=4P(A
1)P(A
2)-2P(A
1)-2P(A
2)+1.
因X
1与X
2不相关,故E(X
1X
2)=EX
1EX
2.
P(A
1A
2)=P(A
1)P(A
2),即A
1与A
2相互独立,应选B.
2. 设f(x)定义在(-∞,+∞)上,在点x=0连续,且满足条件f(x)=f(sinx),则f(x)在(-∞,+∞)上______
- A.不一定是连续函数.
- B.不恒为常数且连续.
- C.不恒为常数且可导.
- D.无穷阶可导.
A B C D
D
[解析] 记u
1=sinu
0,u
k+1=sinu
k,k=1,2,….
对
u
0∈(-∞,+∞),k=1,2,…,有
f(u
0)=f(sinu
0)=f(u
1)=f(sinu
1)=f(sinu
2)=…=f(sinu
k)=f(u
k+1),即对
u
0∈(-∞,+∞),n=1,2,…,都有f(u
0)=f(u
n)成立.
由于数列u
k,k=1,2,…单调减且有极限
又f(x)在点x=0处连续,所以对
可见f(x)在(-∞,+∞)上恒为常数,即f(x)≡f(0).当然是无穷阶可导.
3. 设(X,Y)服从二维正态分布,其边缘分布为X~N(1,1),Y~N(2,4),X,Y的相关系数为ρ
XY=-0.5,且P(aX+by≤1)=0.5,则______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为(X,Y)服从二维正态分布,所以aX+bY服从正态分布,
E(aX+bY)=a+2b,
D(aX+by)=a2+4b2+2abCov(X,Y)=a2+4b2-2ab,
即aX+bY~N(a+2b,a2+4b2-2ab),
由P(aX+by≤1)=0.5得a+2b=1,所以选D.
4. 设A,B是n阶可逆矩阵,且A
-1~B
-1,则下列结果
①AB-BA
②A-B
③A
2-B
2 ④A
T~B
T 中,正确的个数为______
A B C D
D
[解析] 由BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A知AB~BA.
由A-1~B-1知,存在可逆矩阵P,使得
P-1A-1P=B-1. ①
式①两边同时求逆矩阵,得
P-1AP=B,②
故A~B.
式②两边同时取转置矩阵,得
PTAT(P-1)T=BT,
故AT~BT.
又由
P-1AP·P-1AP=P-1A2P=B2
知A2~B2.
综上所述,D正确.
5. 设
则______
A.x=0不是f(x)的驻点.
B.x=0是f(x)的一个驻点,且是f(x)的极大值点.
C.x=0是f(x)的一个驻点,且是f(x)的极小值点.
D.存在δ>0,在
的左侧f(x)单调减,在
的右侧f(x)单调增.
A B C D
C
[解析] 按选项考虑之.当x≠0时,
;当x=0时,
.
所以x=0是f(x)的一个驻点,不选(A).再进一步考察
内f'(x)的符号.由x≠0时f'(x)的表达式知,
而
在-1与+1之间振荡,故在
内f'(x)时正、时负.在
的左侧与在
的右侧f(x)并不分别单调,不选(D).
事实上,由极值的定义可知,当x≠0时f(x)>0.故f(0)为极小值,结合前面已证f'(0)=0,故选(C).
6. 设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为
其中A为常数,则
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 由
可得A=6.所以
7. 已知n阶矩阵A,B,C,其中B,C均可逆,且2A=AB
-1+C,则A=______.
A.C(2--B)
B.
C.B(2B-E)
-1C
D.C(2B-E)
-1B
A B C D
D
[解析] 解矩阵方程常先作恒等变形,其次要正确运用矩阵的运算法则.做乘法时,要说清楚是左乘还是右乘,特别要注意(A±B)
-1≠A
-1±B
-1.
仅D入选,由于2A=AB
-1+C,有
2A-AB
-1=C,且A(2E-B
-1)=C,
又C可逆,则
A(2E-B
-1)C
-1=E,
故A可逆,且得
A=[(2E-B
-1)C
-1]
-1=C(2B
-1B-B
-1)
-1 =C[B
-1(2B—E)]
-1=C(2B-E)
-1B.
[注意] 化简(2E-B
-1)
-1时常见下述错误:
(2E-B
-1)
-1-(2E)
-1-(B一1)
-1=
,
或(2E-B
-1)
-1=2E-B.
这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的,一定要防止这种错误!
二、填空题1. 设平面区域D(t)={(x,y)|1≤x≤y
2,1≤y≤t}.二重积分F(x)=______.
[考点] 求关于参数t(区域含参数t)的二重积分,求二阶导数.
[解析]
故
,从而
.
2. 设a>1,
则
=______.
[解析] 思路一:由
可得
上式两边取极限(n→∞)得
思路二:考虑级数
3.
=______.
[解析] 变更积分次序,再用Γ函数计算较简;也可用分部积分法求之.
解一
=
.
解二
4. 设总体X,Y相互独立且服从N(0,9)分布,(X
1,…,X
9)与(Y
1,…,Y
9)分别为来自总体X,Y的简单随机样本,则
[解析] 由X
1+X
2+…+X
9~N(0,81).得
因为Y
1,…,Y
9相互独立且服从N(0,9)分布,所以(Y
1/3)
2+(Y
2/3)
2+…+(Y
9/3)
2~χ
2(9),即
因此
5. 设y=y(x)是由y
3+(x+1)y+x
2=0及y(0)=0所确定,则
[解析] 此为“
”型,求导中要用到y'(0),y"(0)等等,先求出备用,由y
3+(x+1)y+x
2=0,有
3y
2y'+(x+1)y'+y+2x=0,
将y(0)=0代入,得0+y'(0)=0,有y'(0)=0.再求导,
6y(y
')
2+3y2y
'"+y
'+(x+1)y
"+y
'+2=0.
将y(0)=0,y'(0)=0代入,有0+0+0+y"+0+2=0,y"(0)=--2.
6. 设
,A
*为A的伴随矩阵,矩阵B满足A
*B=A
-1+2B,则B=______.
[解析] 先将所给的矩阵方程化为以B为因子矩阵的方程.为此,先在方
B=
.
三、解答题证明:1. 设a
n>0,且{na
n}有界,则级数
收敛;
证明:因为{na
n}有界,所以存在M>0,使得0<na
n≤M,即
,而级数
收敛,所以级数
收敛.
2. 若
,则级数
收敛.
证明:取
,因为
,所以存在N>0,当n>N时,
,即
,或者
,而
收敛,所以
收敛.
3. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数,f(a)<0,f(b)<0,且
证明:存在ξ∈(a,b)使f"(ξ)<0.
证明:因f(x)在闭区间[a,b]上具有2阶导数,故f(x)在其上连续;又f(a),f(b)均为负,故分别存在小区间[a,a+ε
1)与(b-ε
2,b](ε
1,ε
2为正常数),使f(x)在此二小区间内也都为负.而
从而
,即在开区间(a,b)内至少存在一个小区间.使f(x)在此小区间内为正,由此可知f(x)在[a,b]上的最大值为正数,最大值点η∈(a,b),且f'(η)=0.对于z∈[a,b],有泰勒展开式
其中ξ位于x与η之间,
令x=a,得
于是f"(ξ)与f(a)-f(η)<0同号,即f"(ξ)<0.
[解析] 本题证明的关键是找到条件“两个端点的函数值为负”,与“
”的内在联系
若认为“f(η)为最大值,f'(η)=0,必有f"(η)<0,”这样证明是错误的,因为判别极值的第二充分条件是“只充分,不必要”,不能反过来用.
4. 求解差分方程y
x+1-5y
x=-3.
解:特征方程λ-5=0,于是对应齐次方程通解y
A=C5
x.
非齐次方程的一个特解
故通解为
5. 设银行存款的年利率为r=0.05,并依年复利计算,某基金会希望通过存款A万元,实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律一直提取下去,问A至少应为多少万元?
解:方法一:设A
n为用于第n年提取(10+9n)万元的贴现值,则
A
n=(1+r)
-n(10+9n),
故
其中
,因此
设
,x∈(-1,1).因为
所以
,故A=200+9×420=3980,即至少应存入3980万元.
方法二:设第t年取款后的余款是y
t,由题意知y
t满足方程
y
t=(1+0.05)y
t-1-(10+9t),即y
t-1.05y
t-1=-(10+9t), (*)
式(*)对应的齐次方程y
t-10.5y
t-1=0的通解为y
t=C(1.05)
t.
设(*)的通解为
,代入(1)解得a=180,b=3980,所以(*)的通解为y
t=C(1.05)
t+180t+3980.
由y
0=A,y
t≥0得A=C+3980,C≥0.故A至少为3980万元.
设X,Y具有联合概率密度函数f(x,y)=,6. 求边缘密度函数f
X(x)和f
Y(y),并判断X与Y是否独立;
按照边缘密度函数定义进行计算
当x<0和x>1时,f
X(x)=0;
当0<x<1时,f
X(x)=
;
当y<0和y>1时,f
Y(y)=0;
当0<y<1时,f
Y(y)=
.
下面考察X与Y是否独立:
在0<y<x<1的区域,f(x,y)=0,而f
X(x)>0,f
Y(y)>o,这一区域f(x,y)≠f
X(x)f
Y(y),所以X与Y不独立.
7. 求条件密度fY|X(y|x).
由条件概率定义,当f
X(x)≠0时
8. 求由方程2x
2+2y
2+z
2+8xz-z+8=0所确定的函数z(x,y)的极值,并指出是极大值还是极小值。
解:令F(x,y,z)=2x
2+2y
2+z
2+8xz-z+8,则令
解得y=0,4x+8z=0,代入2x
2+2y
2+z
2+8xz-z+8=0,联立解得两组解
(x
1,y
1,z
1)=(-2,0,1);(x
2,y
2,z
2)=
再求二阶导数并以两组解分别代入.对于(x
1,y
1,z
1)=(-2,0,1)点:
故z=1为极小值.
对于(x
2,y
2,z
2)=
:
故
为极大值.
[考点] 多元函数的极值.
[解析] 利用多元函数求极值的方法即可.
此题为二元隐函数求极值,不少同学会在求二元隐函数一阶和二阶偏导数时出现错误.因此,本题解题的关键是求对一阶、二阶偏导数,记牢、记准判定结论.
求下列极限:9.
解:该极限为1
∞型,因此其底必定为e,转而求其幂的极限,
10.
解:
11.
解: