一、选择题1. 设f(x)在x
0处二阶可导,且f'(x
0)<0,f"(x
0)<0,Δx>0,记Δy=f(x
0+Δx)-f(x
0),dy=f'(x
0)Δx,则______
- A.Δy<dy<0.
- B.Δy>dy>0.
- C.dy>Δy>0.
- D.dy<Δy<0.
A B C D
A
[解析] 由泰勒公式有
,即
,故Δy-dy<0,且dy=f'(x
0)Δx<0,所以A正确.
4. 设A是n阶实对称矩阵,满足A
3+4A
2+5A+2E=0,则对任意的n维非零向量X≠0有______
A.X
TAX>0.
B.X
TAX<0.
C.X
TAX≥0.
D.存在
.
A B C D
B
[解析] n阶实对称阵A满足A
3+4A
2+5A+2E=0,则A的特征值λ满足
λ
3+4λ
2+5λ+2=(λ+1)
2(λ+2)=0,
故A的特征值为-1,-2.f(x
1,x
2,x
3)=X
TAX的标准形为
,
其中λ
i=-1或-2,i=1,2,…,n.
故对任意X≠0,有f(x
1,x
2,…,x
n)=X
TAX<0.
5. 设f(x)连续可导,g(x)连续,且
,又
,则______.
- A.x=0为f(x)的极大点
- B.x=0为f(x)的极小点
- C.(0,0)为y=f(x)的拐点
- D.x=0既不是f(x)极值点,(0,0)也不是y=f(x)的拐点
A B C D
C
[解析] 由
得
,f"(x)=-4x+g(x),
因为
所以存在δ>0,当0<|x|<δ时,
,
即当x∈(-δ,0)时,f"(x)>0;当x∈(0,δ)时,f"(x)<0,故(0,0)为y=f(x)的拐点,应选C.
6. 设n阶矩阵A=[α
1,α
2,…,α
n],B=[α
n,α
1,…α
n-1],若行列式|A|=1,则|A-B|=______
- A.0.
- B.2.
- C.1+(-1)n+1.
- D.1+(-1)n.
A B C D
A
[解析] 由A-B=[α1-αn,α2-α1,…,αn-αn-1]将|A+B|的各列加到第一列得|A+B|=|0,α2-α1,…,αn-αn-1|=0
[评注] 本题说明向量组α1-αn,α2-α1,…,αn-αn-1总是线性相关的,[α1-αn,α2-α1,…,αn-αn-1]x=0总有非零解,你知道非零是“谁”?
二、填空题1. 微分方程(y+x
3)dx-2xdy=0满足
的特解为______.
[解析] 方法一:原方程变形为
,先求齐次方程
的通解,即
积分得
,即
设
为非齐次方程的通解,代入方程得
从而
积分得
于是非齐次方程的通解为
由于
,因此C=1,
故所求特解为
方法二:原方程变形为
,由一阶线性方程通解公式得
由
,得C=1,从而所求的解为
2. 设函数y=x
ax,则y'=______.
[考点] 幂指函数的求导.
[解析] 两边取对数,得
lny=a
xlnx.
两边求导,得
从而
3. 已知矩阵
若线性方程组Ax=b有无穷多解,则a=______.
1
[解析]
当a=1时,
方程组Ax=b有无穷多解,故a=1.
4. 积分
______.
1-sin1
[解析]
5. 已知α,β,γ
1,γ
2,γ
3均为4维列向量,若|A|=|α,γ
1,γ
2,γ
3|=3,|B|=|β,γ
1,γ
2,γ
3|=1,则|A+2B|=______.
135
[解析] 由A+2B=(α+2β,3γ1,3γ2,3γ3),
|A+2B|=|α+2β,3γ1,3γ2,3γ3|=33|α+2β,γ1,γ2,γ3|
=27(|A|+2|B|)=135.
6. 已知三阶方阵A,B满足关系式E+B=AB,A的三个特征值分别为3,-3,0,则|B
-1+2E|=______.
-8
[解析] 因为A的特征值为3,-3,0,所以A-E的特征值为2,-4,-1,从而A-E可逆,由E+B=AB得(A-E)B=E,即B与A-E互为逆阵,则B的特征值为
,B
-1的特征值为2,-4,-1,从而B
-1+2E的特征值为4,-2,1,于是|B
-1+2E|=-8.
三、解答题设二次型2. 用正交变换化上述二次型成标准形,并写出所作正交变换及标准形;
特征值为:λ
1=9,λ
2=λ
3=6.
对λ
1=9,解方程组
,得λ
1=(1,1,1)
T;
对λ
2=λ
3=6,解方程组
得ξ
2=(1,-1,0)
T,ξ
3=(1,1,-2)
T.
(取ξ
3时,已考虑到ξ
3与ξ
2正交)
将ξ
1,ξ
2,ξ
3单位化,得正交矩阵
且
3. 将上述二次型的对应矩阵A表示成A=WW
T,其中W是三阶方阵.
其中
4. 设z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且z=z(x-2y,x+3y)满足
①
求z=z(u,v)的一般表达式.
解:以z=z(u,v),u=x-2y,v=x+3y代入式①,得到z(u,v)应该满足的微分方程,也许这个方程能用常微分方程的办法解之.
代入式①,化为
即
令
得
它可以看成一个常微分方程(其中视v为常数),解得
其中φ(v)为具有连续导数的v的任意函数.再由
所以
或写成
其中
为具有连续导数的u的任意函数,Φ(v)为具有二阶连续导数的v的任意函数,其中
u=x-2y,v=x+3y.
从正态总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本,S2为样本方差,这里μ和σ2均未知,求:7.
解:
8. 计算反常积分
解:在反常积分I中令x=cosθ作换元,由于
,且
,dx=-sinθdθ,代入即得
再令tanθ=t,因
,且
,故
在反常积分J中令
,则x:-1→0
t:0→1,且x=t
3-1,dx=3t
2dt,ln(1+x)=ln(t
3)=3lnt,代入就有
9. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)>0,
.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0.
解:构造辅导函数F(x)=e
g(x)f(x),依题意不妨设f(a)>0,则有
f(b)>0,于是F(a)>0,
,F(b)>0.
由零点定理,存在ξ
1,ξ
2(如下图),使得
F(ξ
1)=0,
F(x)在[ξ
1,ξ
2]上满足罗尔定理条件,故存在ξ∈(ξ
1,ξ
2)
(a,b),使得F'(ξ)=0,即
F'(ξ)=e
g(ξ)[f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)]=0,
亦即
f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0.