[解析]
令
得
点(3,-4)在圆域内,且z(3,-4)=-25.
函数在圆域的边界线x
2+y
2=100上的极值问题实际上是函数z=x
2+y
2-6x+8y在满足条件x
2+y
2=100下的极值问题.
可用拉格朗日乘数法求解.
作拉格朗日函数
F(x,y,λ)=x
2+y
2-6x+8y+λ(x
2+y
2-100),并令
有
解得
于是得到函数在约束条件下可能的极值点分别是(6,-8)与(-6,8)
计算z(6,-8)=0,z(-6,8)=200.
由比较可知最大值max{0,200,-25}=200;最小值min{0,200,-25}=-25.
[评注] (1)设函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续.求其在D上的最大值或最小值的步骤如下:
①求出函数z=f(x,y)在D内的所有驻点处或至少一个偏导数不存在的点处的函数值.
②设D是由边界曲线F
i(x,y)=0(i=1,2,…,n)所围成,求出函数z=f(x,y)分别在约束条件F
i(x,y)=0(i=1,2,…,n)下的所有可能的驻点,并计算出其函数值.
③比较①,②两组中已计算出的函数值,其中最大者就是函数z=f(x,y)在D上的最大值,最小者就是函数z=f(x,y)在D上的最小值.
(2)条件极值应用问题的求解方法.
条件极值应用问题的求解常用拉格朗日乘数法.
例如,求函数z=f(x,y)在约束条件
(x,y)=0之下的条件极值的程序为:
①引入拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λ
(x,y).
②求拉格朗日函数F(x,y,λ)的驻点,即解方程组
③在考研试题中通常是条件最大值或最小值的应用问题,常由问题的实际意义可知存在最大值或最小值.若驻点唯一即为所求.
又如,求函数u=f(x,y,z)在约束条件
(x,y,z)=0与
(x,y,2)=0之下的条件极值的程序为:
①引入拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λ
(x,y,z)+μ
(x,y,z).
②求拉格朗日函数F(x,y,z,λ,μ)的驻点,即解方程组
③判定各驻点是否为最大、小极值点.