一、选择题1. 设X
1,X
2,…,X
n是来自正态总体N(μ,σ
2)的简单随机样本,
是样本均值,记
,
,则服从自由度为n-1的t分布的随机变量为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 令
又因为X
i~N(μ,σ
2),
与S
2相互独立,所以
对于A项,
排除A;
对于B项,
,选B;
至于C,D项,
,从C,D项中的统计量t,一定得不出t~t(n-1),且
是否独立,我们还不知道,我们只知道,当X~N(μ,σ
2),
与S
2相互独立,因此,在读题阶段,就应立即排除C,D.
2. 设
,则
在
处的值为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 求二元函数在一点的二阶混合偏导数.
[解析] 当二阶混合偏导数连续时,与求导顺序无关
.
故
.
应选D.
4. 设X
1,X
1为独立的连续型随机变量,分布函数分别为F
1(x),F
2(x),则一定是某一随机变量的分布函数的为______
- A.F1(x)+F2(x)
- B.F1(x)-F2(x)
- C.F1(x)F2(x)
- D.F1(x)/F2(x)
A B C D
C
[解析] 用排除法.
因为F
1(x),F
2(x)都是分布函数,所以
故(A)不正确.
故(B)不正确.
对于(D),由于
所以,
型未定式极限,因此,不能保证
故(D)不正确.
5. 设f(x)在区间(-∞,+∞)上连续,且满足
,则在(-∞,+∞)上,当x≠0时,f(x)______
- A.恒为正.
- B.恒为负.
- C.与x同号.
- D.与x异号.
A B C D
C
[解析] 作积分变量代换,令x-t=u,得
所以
.又因f(0)=0,f'(0)=1,所以C
1=1,C
2=0.
从而
,故应选C.
6. 使函数f(x)=x
3+ax+b在区间(-∞,+∞)内只有一个零点x
0(且x
0<0)的常数a,b的取值范围是______
- A.a<0,b<0.
- B.a≥0,b<0.
- C.a<0,b>0.
- D.a≥0,b>0.
A B C D
D
[解析] 本题考查函数零点问题——见到函数零点或方程实根以及两曲线交点的问题,就要先找函数再定区间,然后用零点定理.若还要研究个数,则必用函数的单调性及极(最)值处理.
解 因f(x)在(-∞,+∞)内连续,
,
,故由零点定理可知f(x)在(-∞,+∞)内至少有一个零点.
又f'(x)=3x
2+a,为使f(x)只有一个零点,需a≥0(保证f(x)单调),而零点x
0<0,f(0)=b,故只要b>0.
注 上述结果“a≥0,b>0”只是f(x)在(-∞,+∞)内只有一个负零点x
0的充分条件.
8. 两曲线
与y=ax
2+b在点
处相切,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 因两曲线相切于点
故相交于该点.将x=2,
代入y=ax
2+b中得
又因为相切于该点,故切线斜率相等,即导数相等,所以
将x=2代入得
二、填空题1. 设函数z=z(x,y)由方程sinx+2y-z=e
z所确定,则
[解析] 方程两端对x求偏导数
移项并解出
即得.
2. 若f(x
1,x
2,x
3)=(ax
1+2x
2-3x
3)
2+(x
2-2x
3)
2+(x
1+ax
2-x
3)
2是正定二次型,则a的取值范围是______.
a≠1且a≠
[解析] 由题设条件知,对任意的x
1,x
2,x
3,恒有f(x
1,x
2,x
3)≥0,其中等号成立的充分必要条件是
而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
所以,当a≠1且a≠
时,
(x
1,x
2,x
3)
T≠0,恒有f(x
1,x
2,x
3)>0,即二次型正定.
3. 微分方程(2x+3)y"=4y'的通解为______.
[解析] 令y'=p,则
两边积分得
lnp=ln(2x+3)
2+lnC
1,或y'=C
1(2x+3)
2,
于是
4. 设A,B为3阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ
1=1,λ
2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=______.
18
[解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值.由A~B知A和B有相同特征值,因此λ1=1,λ2=-1也是A的特征值.故A,B的特征值均为λ1=1,λ2=-1.λ3=-2.则有E+2B的特征值为1+2×1=3,1+2×(-1)=-1,1+2×(-2)=-3,从而
|E+2B|=3×(1)×(-3)=9,|A|=λ1λ2λ3=2.
故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18.
5. 设总体X~N(0,8),Y~N(0,2
2),且X
1及(Y
1,Y
2)分别为来自上述两个总体的样本,则
F(1,2)
[解析]
6. 已知矩阵
,若矩阵X和Y满足:
X
2+XY=E,A(X+Y)B=E,
则矩阵Y=______.
[解析] 由X(X+Y)=E,知X+Y=X
-1,于是Y=X
-1-X.由A(X+Y)B=E有AX
-1B=E,于是X=BA.那么
从而
.所以
.
三、解答题1. 求
解:原式
2. 设向量组a
1,a
2,a
3线性无关,问当常数l,m满足什么条件时,向量组la
2-a
1,ma
3-a
2,a
1-a
3也线性无关.
解:若k
1(la
2-a
1)+k
2(ma
3-a
2)+k
3(a
1-a
3)=0,即
(-k
1+k
3)a
1+(k
1l-k
2)a
2+(k
2m-k
3)a
3=0,
从而
当lm≠-1时,方程组有唯一零解,
即向量组
la
2-a
1,m
2-a
3,a
1-a
3 也线性无关.
3. 判别级数
的敛散性.
解:
易知当n充分大时,
单调递减且此数列收敛于0,由莱布尼茨判别法知,级数
收敛.
设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
4. 试确定常数c;
解:由
故C=1.
5. 令Z=max{X,Y},求Z的概率密度f
Z(z).
解:F
Z(z)=P{Z≤z}
=P{max(X,Y)≤z}.
当z≤0时,F
Z(z)=0;
当z>0时,
F
Z(z)=P{Z≤z}=P{max(X,Y)≤z}
=P{X≤z,Y≤z}
即
所以Z的概率密度为
6. 设f(x)在x=1处连续,且
求f'(1).
解:
7. 设X,Y相互独立,且
Y~N(0,1),令U=max(X,Y),求P{1<U≤0.96}(其中Φ(1)=0.841).
解:P(U≤u)=P{max(X,Y)≤u}=P{X≤u,Y≤u}=P(X≤u)P(Y≤u),
P(U≤1.96)=P(X≤1.96)P(Y≤1.96)=[P(X=0)+P(X=1)]P(Y≤1.96)
P(U≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=
×Φ(1)=0.4205,
则P(1<U≤1.96)=P(U≤1.96)-P(U≤1)=0.067.
8. 设f(x)在[a,+∞)上连续,当x>a时,f'(x)>k>0,其中k为常数,又f(a)<0,证明:方程f(x)=0在
内有唯一实根.
证明:由题设,在
内,f'(x)>k>0可知在该区间内f(x)单调递增,因此f(x)在该区间内至多有一个实根.
再证f(x)在该区间内至少有一个实根.
由题设知,f(x)在
上满足拉格朗日定理条件,故至少存在一个ξ∈
再由题设当ξ>a时,f'(ξ)>k>0,于是有
又f(a)<0,由零值定值,f(x)在
内至少有一个零点.
综上所述,命题得证.
设是正项级数,并设9. 求证:若b>1,则
收敛;若b<1,则
发散;
证明:设b>1,任取ε>0,使得b-ε>1,因为
故
当n≥N时,
即
因b-ε>1,所以
收敛,由正项级数的比较审敛法知
收敛.
又假设b<1,任取ε>0,使得b+ε<1,因为
故
当n≥N时,
即
因b+ε<1,所以
发散,由正项级数的比较审敛法知
发散.
10. 当b=1时,试举出可能收敛也可能发散的例子.
证明:级数
发散,这时
级数
根据积分审敛法易知其收敛,这时令x=lnn,
则有
所以有