一、选择题2. 设曲线
在点
处的切线与x轴的交点为(ξ
n,0)(n=1,2,3…),则
lnξ
n=______。
A B C D
A
[考点] 平面曲线的切线和数列极限。
[解析] 曲线
在点
处切线的斜率为
则切线方程为
。
令y=0,得
,则解得:
3. 设
,则有______
A.F(1)=0
B.F'(1)=0
C.
D.
A B C D
C
[解析] 本题主要考查分段函数的积分,只要求出F(x)的表达式,即可看出正确选项.
解 当x<1时,
当x>1时.
故
显然F(x)在(-∞,+∞)上连续,且F(1)=
.由于f(x)不连续,故F(x)不一定可导.本题中x=1是f(x)的第一类间断点,因此F(x)一定不可导(导函数没有第一类间断点).
5. 设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f'(0)=0,f"(x)≠0.并且在曲线y=f(x)上任意一点(x,f(x))(x≠0)作此曲线的切线,此切线在x轴上的截距为u,则
=______
A.
.
B.1.
C.
.
D.2.
A B C D
D
[解析] 按题目要求一步步往下做.经过曲线上点(x,f(x))的切线斜率y'=f'(x),切线方程为
Y=f(x)+f'(x)(X-x),
其中(X,Y)为切线上的动点.命Y=0,得x轴上的截距
(*)
由于f"(x)连续且不为0,故在x=0必存在U(0),当x∈U(0)时不妨可认为f"(x)>0,由于f'(0)=0,故当x>0且x∈U(0)时,f'(x)>0.所以(*)式的分母有意义于是
由洛必达法则
所以
6. 设两个任意随机事件A,B,其概率都大于0且小于1,则下列事件中一定与事件A独立的是______
A.A∪B.
B.
C.A-B.
D.
A B C D
D
[解析] 因为
所以不能保证A与A∪B及A与A—B一定相互独立,从而排除A,C.
由于A,B任意,排除B.
不可能事件与任意事件都是相互独立的.
8. 3阶矩阵
(ab≠0)且r(A*)=1.则有______
- A.a=b
- B.a=2b
- C.a≠b且a+2b=0
- D.a≠b且a+2b≠0
A B C D
C
[考点] 矩阵的秩.
[解析] r(A*)=
.今知r(A*)=1,故r(A)=2<3,有|A|=0.
当a=b时,r(A)=1与r(A)=2矛盾.A不正确.
若a=2b或
,则|A|≠0,r(A)=3与r(A)=2矛盾.故B,D不正确.
当
时,A有二阶子式
,即r(A)=2,C正确.应选C.
二、填空题1.
2. 若函数f(x)在点x=0处可导,且f(0)=f'(0)=1.则
=______.
-5
[解析]
3. 设
[解析]
4. 设D是由y=x
3,y=1,x=-1所围成的区域,f(u)为连续函数,计算
______.
[解析] 因为f(u)连续,所以
存在.
因为F(x
2+1)-F(x
2+x
6)为x的偶函数,
所以x[F(x
2+1)-F(x
2+x
6)]为x的奇函数.故后一积分为0,所以
.
5. 微分方程xln xdy+(y-ln x)dx=0满足条件y(e)=1的解为______.
[解析] 本题考查一阶线性微分方程的解法.将方程恒等变形成一阶线性微分方程的标准形式,由其通解公式可得.
解 方程变形为
故
由y(e)=1,得C=
,因此所求特解为
6. 已知矩阵
和对角矩阵相似,则a=______.
-2
[解析] 因为
所以矩阵A的特征值为2,3,3.因为矩阵A的特征值有重根,所以
A~Λ
λ=3有两个线性无关的特征向量
(3E-A)x=0有两个线性无关的解
r(3E-A)=1
那么
可见a=-2.
三、解答题1. 设
收敛,举例说明级数
不一定收敛;若
是正项收敛级数,证明
一定收敛.
解:令
,由交错级数的Leibniz审敛法,级数
收敛,
而
发散.设
是正项收敛级数,则
,
取ε
0=1,存在自然数N,当n>N时,|a
n-0|<1,从而0≤a
n<1,
当n>N时,有
.
由
收敛得
收敛,再由比较审敛法得
收敛,所以
收敛.
2. 设函数f(x)在[a,b]上连续,x
1,x
2,…,x
n,…是[a,b]上一个点列,求
解:本题考虑夹逼准则.由f(x)在[a,b]上连续,知e
f(x)在[a,b]上非负连续,且0<m≤e
f(x)≤M,其中M,m分别为e
f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,于是
故
由
根据夹逼准则,得
3. 设a
0=1,a
1=-2,
.证明:当|x|<1时,幂级数
收敛,并求其和函数S(x).
证明:由
,得幂级数的收敛半径R=1,所以当|x|<1时,幂级数
收敛.由
,得
,所以
4. 计算
其中D是由x
2-y
2=1及y=0,y=1围成的平面区域.
解:
5.
解:
设(X,Y)的联合概率密度为6. 求Z=X-2Y的概率密度;
解:法一 分布函数法.
由分布函数的定义
F
Z(z)=P{Z≤z}=P{X-2Y≤z}.
①当z<-1时,F
Z(z)=0;
②当-1≤z<0时,积分区域如下图阴影所示:
③当0≤x<1时,积分区域如下图阴影所示:
④当z≥1时,F
Z(z)=1.
综上
所以
法二 公式法,
概率密度要求变量取值为正,
则
7. 求
解:法一 为求
在0<y<1条件下,
当
所以
法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布,即在条件
下等价于在线段AB上随机投点,再要求
等价于范围缩小到AC上随机投点,如下图所示,
所以
8. 设总体X服从于正态分布N(μ,σ
2)(σ>0),从该总体中抽取简单随机样本X
1,X
2,…,X
2n(n≥2),其样本均值为
,求统计量Y=
的数学期望E(Y)。
解:设Z
i=X
i+X
n+i(i=1,2,…,n),为从总体Z中取出的样本容量为n的样本,则E(Z
i)=E(X
i)+E(X
n+i)=μ+μ=2μ,D(Z
i)=D(X
i+X
n+i)=D(X
i)+D(X
n+i)(X
i与X
n+i相互独立)=σ
2+σ
2=2σ
2 ∴Z~N(2μ,2σ
2),
由样本与总体同分布,则
。
∵S
2是总体Z的方差的无偏估计量,
∴
,
∴E(Y)=2(n-1)σ
2。
[考点] 随机样本的正态分布
9. 设z=z(x,y)是由方程x
2+y
2-z=φ(x+y+z)所确定的函数,其中φ具有二阶导数且φ′≠-1时.
(1)求dz;
(2)记
,求
解:(1)对已知方程两边同时求导2xdx+2ydy-dz=φ′(x+y+z)·(dx+dy+dz),于是有
(φ′+1)dz=(-φ′+2x)dx+(-φ′+2y)dy,
即
(2)由(1)可知
所以
所以