一、选择题3. 具有特解y
1=e
-x,y
2=-2xe
-x,y
3=3e
x的三阶常系数齐次线性微分方程是______
- A.y"'-y"-y'+y=0
- B.y"'+y"-y'-y=0
- C.y"'-6y"+11y'-6y=0
- D.y"'-2y"-y'+2y=0
A B C D
B
[解析] 根据题设条件,1,-1是特征方程的两个根,且-1是重根,所以特征方程为(λ-1)(λ+1)
2=λ
3+λ
2-λ-1=0,故所求微分方程为y'"+y"-y'-y=0,故选(B).
或使用待定系数法,具体为:
设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是
y'"+ay"+by'+cy=0.
由于y
1=e
-x,y
2=2xe
-x,y
3=3e
x是上述方程的解,所以将它们代入方程后得
解得a=1,b=-1,c=-1.故所求方程为y'"+y"-y'-y=0,即选项(B)正确.
5. 设A是n阶矩阵(n>1),满足A
k=2E,k>2,E是单位矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A*)
k=______
A.
B.2E.
C.2
k-1E.
D. 2
n-1E.
A B C D
6. 设积分
收敛,则______
- A.p>1且q<1.
- B.p>1且q>1.
- C.p<1且q<1.
- D.p<1且q>1.
A B C D
A
[解析] lnx=ln[1+(x-1)]~x-1(x→1),所以,
,可知
同敛散性,故当q<1时,
收敛.
当q<1,p=1时,
,故发散;
当q<1,p<1时,对
,
,且
发散,故
发散;
当q<1,p>1时,
,故
收敛.
综上所述,当p>1且q<1时,原积分收敛,A正确.
7. 在条件
①级数
绝对收敛. ②级数
条件收敛.
③级数
绝对收敛. ④级数
条件收敛.
中能保证级数
收敛的条件是______
A B C D
A
[解析] 由级数收敛的比较判别法知当级数
绝对收敛时级数
必收敛.原医在于当
绝对收敛时必有
,从而由
当n充分大时成立与比较判别法即知
收敛.
令
,则级数
条件收敛,但
发散.
令
,则级数
条件收敛,但
发散.
令
,则级数
级对收敛,但
发散.
根据上述讨论即知应选(A).
二、填空题1.
=______.
[解析] 展开(x+2|x|)
2=x
2+2x|x|+4x
2,并注意到奇偶性,
再命x=sint,原式=
sin
2tcos
2tdt=
sin
2t(1-sin
2t)dt=
sin
2tdt-
sin
4tdt=
.
请随时注意:①利用奇偶性化简对称区间上定积分的计算;②利用华里士公式计算积分
sin
nxdx与
cos
nxdx.
2. 设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域,则D的面积为______.
3. 已知总体X与Y都服从正态分布N(0,σ
2),X
1,…,X
n与Y
1,…,Y
n为分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本,样本均值与方差分别为
,则统计量
服从______分布,参数为______.
F;(1,2n-2)
[解析] 由于两个总体都服从正态分布N(0,σ
2),且样本又相互独立,因此容易求得
分布,再应用典型模式确定F的分布.
由于X~N(0,σ
2),Y~N(0,σ
2),所以
相互独立,故
.
又
相互独立,根据χ
2分布可加性,得
又
相互独立,从而推出
相互独立,由F分布的典型模式,得
4. 已知矩阵
与二次型x
TBx=
的矩阵B合同,则a的取值______.
a<0
[解析] 矩阵A与B合同
x
TAx与x
TBx有相同的正、负惯性指数.
由于
可见p
A=1,q
A=1.因而x
TBx=
的p
B=1,q
B=1时,矩阵A和B合同.
所以a<0即可.
不要误以为a=-3.当a=-3时,矩阵A和B不仅合同而且相似.
5.
[解析]
6. 设
,B是三阶非零矩阵,且BA
T=O,则秩r(B)=______.
1
[解析] 先确定A的秩,再求B的秩.
由BAT=O,有
r(B)+r(AT)≤3,即r(B)+r(A)≤3.
显然,矩阵A中有二阶子式不为0,有r(A)≥2.所以必然是r(A)=2,从而
r(B)≤3-r(A)=3-2=1,故r(B)=1
三、解答题1. 求由方程x
2+y
2+z
2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值.
[解法一] 方程的两边分别对x,y求偏导,得
由函数取极值的必要条件
将②代入①解得x=1,y=-1,P(1,-1)为驻点.
将①的两个方程分别对x,y求偏导,得
所以z=f(x,y)|
P取极值.
将x=1,y=-1代入原方程,得z
1=-2,z
2=6.
把z
1=-2代入③,
故 z=f(1,-1)=-2为极小值.
把z
2=6代入③,
故z=f(1,-1)=6为极大值.
[解法二] 配方法:原方程可变形为(x-1)
2+(y+1)
2+(z-2)
2=16,
于是
显然,当x=1,y=-1时,根号中的极大值为4.由此可知z=2±4为极值,z=6为极大值,z=-2为极小值.
2. 设曲线
与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V
1(a),绕y轴旋转所得立体体积为V
2(a),问a为何值时,V
1(a)+V
2(a)最大,并求最大值.
解:曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a,0),(0,b),其中b=4-a.曲线可化为
对任意的[x,x+dx]
[0,a],
于是
根据对称性,有
于是
令
又V"(2)<0,所以a=2时,两体积之和最大,且最大值为
3. 设整系数方程组
对任意b
1,b
2,…,b
n均有整数解,证明其系数行列式必为±1.
证明:令A=(aij)n×n,i,j=1,2,…,n;b=(b1,b2,…,bn)T,则原方程组即为Ax=b.其中x=(x1,x2,…,xn)T.取b分别为n阶单位矩阵E的各列:ε1=(1,0,…,0)T;ε2=(0,1,…,0)T;…;εn=(0,0,…,1)T,所得解依次记为α1,α2,…,αn,即Aαj=εj,j=1,2,…,n.
A[α1,α2,…,αn]=[ε1,ε2,…,εn],
也即 A[α1,α2,…,αn]=E,
其中[α1,α2,…,αn]=A-1.按题设,A-1与A一样是整数矩阵,从而|A-1|与|A|都是整数,又由AA-1=E,有
|AA-1|=|A||A-1|=1,
于是只能|A|=±1.
4. 设
求f'(x)并讨论f'(x)在x=0处的连续性.
解:
所以f'(x)在x=0处连续.
5. 设f(x)=arcsinx,ξ为f(x)在[0,t]上拉格朗日中值定理的中值点,0<t<1,求极限
解:因f(x)=arcsinx在[0,t]上连续,在(0,t)内可导,对它用拉格朗日中值定理,得
由此解得
并令μ=arcsint,有
6. 设f,φ有二阶连续导数,
,求
解:先求
或
.由于f(x)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合,u是中间变量,φ(xy)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合,v是中间变量.由于
,先求
方便,由复合函数求导法则得
7. 求幂级数
的收敛域与和函数。
解:
,故该级数的收敛半径为r=1,收敛区间为(-1,1),x=±1时,该级数变为常数项级数
逐项求导可得,
故原级数的和函数为
[解析] 如果
,则收敛半径为
。求幂级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的幂级数,再对和函数求积分或求导,这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。
8. 设u
n(x)满足
,且
,求
的和函数.
解:由
得
,于是
因为
,所以C=0,故
令
,显然
的收敛域为[-1,1),即
的收敛域为[-2,2).
因为
,所以
故
9. 设函数
连续,试确定a,b.
解:
由于f(x)连续,则f
-(-1)=f
+(-1)=f(-1),f
_(1)=f
+(1)=f(1),
于是
又
则
由①和②得a=0,b=1.