一、选择题2. 当x→0时,下列无穷小中,哪个是比其他三个更高阶的无穷小?______
A.x
2 B.1-cosx
C.
D.x-tanx
A B C D
D
[解析]
所以x-tanx是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小,选D.
3. 在平面直角坐标系Oxy中,区域D由x轴,y轴以及直线
,x+y=1围成,若
,则______
- A.I1<I2<I3.
- B.I3<I2<I1.
- C.I1<I3<I2.
- D.I3<I1<I2.
A B C D
C
[解析] 在区域D内
成立,所以在D内有
ln(x+y)<0<sin(x+y)<x+y.
从而
即应选(C).
4. 设f(x,y)在D:x
2+y
2≤a
2上连续,则
______
A.不一定存在.
B.存在且等于f(0,0).
C.存在且等于π(0,0).
D.存在且等于
A B C D
C
[解析] 由积分中值定理知
故应选C.
7. 设D:|x|+|y|≤1,则
______
A.0
B.
C.
D.1
A B C D
C
[解析] 因为D关于x,y轴都对称,故
且有
其中D
1={(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0}.
于是
8. 设X
1,X
2,…,X
n+1是取自正态总体N(0,σ
2)的简单随机样本,记
,则
______
A.
B.
C.kσ
2.
D.σ
2.
A B C D
B
[解析]
.
由于X
1,X
2,…,X
n+1相互独立,当i≠j时,cov(X
j,X
j)=0;当i=j时,cov(X
i,X
j)=σ
2,所以
.故选B.
三、解答题1. 设
B~A
*,求B+2E的特征值.
解:
由
得λ
1=7,λ
2=λ
3=1,A
*对应的特征值为
即μ
1=1,μ
2=μ
3=7.
因为B~A
*,所以B的特征值也为μ
1=1,μ
2=μ
3=7,从而B+2E的特征值为3,9,9.
2. 设X与Y相互独立,且X~N(0,σ
2),Y~N(0,σ
2),令
,求E(Z),D(Z).
解:因为X与Y相互独立,且X~N(0,σ
2),Y~N(0,σ
2),
所以(X,Y)的联合密度函数为
,
故
3. 设函数
处处连续,试确定常数a,并求f'(0)与f"(0).
[解法一] 利用洛必达法则求极限
令
,则f(x)在x=0处连续从而处处连续.
又当x≠0时
故
于是有
,f'(0)=0,
.
[解法二] 写出函数
的泰勒展开式(x=0处)
因为
故
所以
,f'(0)=0,
[解析] 先求x→0时f(x)的极限以确定a;由导数定义求f'(0)与f"(0).另一方便的解法是利用f(x)的泰勒展开式,一次可将所求的结论全部得出.
不难看出解法2比解法1要减少很多工作量,节省不少宝贵的时间,所以求函数的极限时善于运用泰勒展开式是一个不可忽视的手段.
求下列不定积分:5.
解:
6.
解:
7.
解:
8. 设f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f'(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x
2y]dy=0为全微分方程,求f(x)及该全微分方程的通解.
解:令P(x,y)=xy(x+y)-f(x)y,Q(x,y)=f'(x)+x
2y,因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x
2y]dy=0为全微分方程,所以
,即f"(x)+f(x)=x
2,
解得f(x)=C
1cosx+C
2sinx+x
2-2,由f(0)=0,f'(0)=1得C
1=2,C
2=1,
所以f(x)=2cosx+sinx+x
2-2.
原方程为[xy
2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x
2y)dy=0,整理得
(xy
2dx+x
2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0,
即
,
原方程的通解为
.
将数字1,2,…,n随机地排列成新次序,以X表示经重排后还在原位置上的数字的个数.9. 求X的分布律;
解:记A
i={数字i在原位置上},i=1,2,…,n,则
表示至少有一个数字在原位置上.则
显然有