一、选择题2. 已知f(x,y)=ln(1+
),则______
- A.df(x,y)|(0,0)=0.
- B.f'x(0,0),f'y(0,0)都不存在.
- C.f'x(0,0)存在.
- D.仅f'y(0,0)存在.
A B C D
D
[解析] 本题考查二元函数在某点处偏导数的存在性问题.由题目特点,要利用偏导数定义分析求解.
解 因
不存在,故f'
x(0,0)不存在.又
故f'
y(0,0)存在.
3. 设A是三阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列上得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题主要考查初等矩阵及初等变换,对列进行初等变换用矩阵右乘初等矩阵。
[解析] 将A的第1列与第2列交换得B,可知
,把B的第2列加到第3列上得C,则
,因此
5. 设
且
则______
- A.存在aij(i,j=1,2,3)使得β1,β2,β3线性无关
- B.不存在aij(i,j=1,2,3)使得β1,β2,β3线性相关
- C.存在bij(i,j=1,2,3)使得β1,β2,β3线性无关
- D.不存在bij(i,j=1,2,3)使得β1,β2,β3线性相关
A B C D
C
[解析] 由
知向量组α
1,α
2,α
3线性相关,α
2,α
3,α
4线性无关,因α
1,α
2,α
3线性相关,故(A),(B)不成立,因α
2,α
3,α
4线性无关.故(C)成立,(D)显然不成立.
6. 设函数f(x)与g(x)在区间(-∞,+∞)上皆可导,且f(x)<g(x),则必有______
A.f(-x)>g(-x).
B.f′(x)<g′(x).
C.
D.
A B C D
C
[解析] 取f(x)=1,g(x)=2,显然满足题设条件,由此例可知选项A、B显然不正确,而对于选项D,因
当x<0时.选项D显然不正确.故诜C.
7. 下列广义积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 判断广义积分的敛散性,利用广义积分的定义判断极限是否存在即可。
A项,
,因此该积分发散。
B项,
,因此该积分发散。
C项,
,因此该积分收敛。
D项,
,因此该积分发散。
二、填空题1. 设c为任意常数,则以y=e
cx+x2为通解的微分方程为______.
xy'-ylny=x2y.
[解析] 由y=e
cx+x2,有lny=x
2+cx,即
,
两边对x求导,得
,
化简得
xy'-ylny=x
2y.
2. 设二元函数f(x,y)二阶连续可导,且
若u(x,y,z)=f(x+y+z,x
2+y
2+z
2),则
______.
-12
[解析] 由已知得
利用函数结构的对称性,可得
最后得
3. 设ξ
1=(1,3,-2)
T,ξ
2=(2,-1,3)
T是Ax=0的基础解系,又Bx=0和Ax=0是同解方程组,已知η=(2,a,b)
T是方程组
的解,则η=______.
(2,-6,8)T
[解析] 因η是
的解,故η应满足x
1+2x
2+x
3=-2,代入η得
2+2a+b=-2,2a+b=-4
η=(2,a,-2a-4)
T.
又Ax=0和Bx=0是同解方程组,η满足Bx=0,即满足Ax=0,η应可由Ax=0的基础解系线性表出,即方程组x
1ξ
1+x
2ξ
2=η有解.
由r(ξ
1,ξ
2)=r(ξ
1,ξ
2,η)=2,得a=-6,从而b=-4-2a=8.故η=(2,-6,8)
T.
4.
[解析] 令x=rsinθ,y=rcosθ,则
5. 设随机变量X和Y的联合分布为
,则X和Y的协方差cov(X,Y)=______.
-0.1.
[解析]
显然,EX=0.5,EY=(-1)·(0.3)+1·(0.3)=0.
E(XY)=-P{XY=-1}+P{XY=1}=-0.2+0.1=-0.1.
cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=-0.1-0=-0.1.
6. 若
且x=at+b(a≠0),则
F(t)+C,其中C为任意常数
[解析] 因F'(x)=f(x),故F'(t)=f(t),于是
三、解答题设起点站上车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立,以Y表示中途下车人数.1. 求在发车时有n个乘客的情况下,中途有m个乘客下车的概率;
解:设A=(发车时有n个乘客),B=(中途有m个人下车),则
P(B|A)=P(Y=m|X=n)=
(1-p)
n-m(0≤m≤n)
2. 求(X,Y)的概率分布.
解:P(X=n,Y=m)=P(AB)=P(B|A)P(A)=
3. 证明n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是A
Tx=0的解全是b
Tx=0的解.
证明:(必要性)因为方程组Ax=b有解,设α是Ax=b的一个解,即Aα=b,即
b
T=(Aα)
T=α
TA
T.
若η是A
Tx=0的任一个解,则A
Tη=0,那么
b
Tη=α
TA
Tη=α
T0=0,
即η,是b
Tx=0的解.
(充分性)因为A
Tx=0的解全是b
Tx=0的解,所以A
Tx=0与
同解.那么
,即r(A)=r(A,b),因此方程组Ax=b有解.
函数f(x)在[0,+∞)上可导,且f(0)=1,满足等式
4. 求导数f'(x)
解:整理后有等式
(x+1)f'(x)+(x+1)f(x)-
f(t)dt=0,
求导得到(x+1)f"(x)+(x+2)f'(x)=0.
设u(x)=f'(x),
则
两边积分得到
,
即
.
5. 证明:当x≥0时,成立不等式e
-x≤f(x)≤1
证明:由
①
且x≥0,
则有不等式
两边积分,利用式①有e
-x≤f(x)-f(0)≤0,
即有不等式e
-x≤f(x)≤1.
[解析] 先在所给等式两边求导得到f(x)的二阶微分方程.为求f'(x),视f'(x)为因变量,化为一阶微分方程而求之.求出f'(x)的表示式后再放缩化为不等式,最后积分即可得到f(x)的不等式.
设方程组AX=β有解但不唯一.6. 求a;
解:因为方程组AX=β有解但不唯一,所以|A|=0,从而a=-2或a=1.
当a=-2时,
方程组有无穷多解;
当a=1时,
方程组无解,故a=-2.
7. 求可逆矩阵P,使得P
-1AP为对角阵;
解:由|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ
1=0,λ
2=3,λ
3=-3.
由(0E-A)X=0得λ
1=0对应的线性无关的特征向量为
由(3E-A)X=0得λ
2=3对应的线性无关的特征向量为
由(-3E-A)X=0得λ
3=-3对应的线性无关的特征向量为
令
则
9. 已知齐次线性方程组
(Ⅰ)
和(Ⅱ)
同解,求α,β,γ的值.
解:由于方程组(Ⅱ)中“方程个数(为2)<未知数个数(为3)”,所以(Ⅱ)必有非零解,而(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,即(Ⅰ)也有非零解.从而(Ⅰ)的系数行列式为0,有
得α=2.
对(Ⅰ)的系数矩阵作初等行变换,有
得(Ⅰ)的通解为X=k(1,1,-1)
T.
由于X=(1,1,-1)
T也是(Ⅱ)的解,故有
当
时,方程组(Ⅱ)为
,其通解为X=k(1,1,-1)
T,(Ⅰ),(Ⅱ)同解.但当
时,(Ⅱ)为
.由于r(Ⅱ)=1<2=r(Ⅰ),所以(Ⅰ),(Ⅱ)不同解,舍之从而当α=2,β=1,γ=2时,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.
[考点] 两个齐次线性方程组同解,求其中的参数.