一、选择题4. 设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内连续,{x
n}为一个数列.下列命题正确的为______
- A.若(xn}收敛,则{f(xn)}亦收敛.
- B.若{xn}单调,则{f(xn)}收敛.
- C.若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛.
- D.若{f(xn)}单调,则{xn}收敛.
A B C D
A
[解析] 若{x
n}收敛,即
存在,记其极限为x
0,于是由f(x)的连续性知,
故{f(x
n)}亦收敛.
[评注] (B)不正确,反例如下:f(x)=x,x
n=n.f(x)连续,{x
n}单调,但{f(x
n)}={n}却不收敛.
(C)不正确,反例如下:f(x)=arctanx,在(-∞,+∞)内f(x)有界.x
n=n,f(x
n)=arctann→
(当n→∞),它收敛,但
不收敛.
(D)不正确,反例用(C)的反例.{f(x
n)}={arctann}单调,但
不收敛.
5. 设A,B是任两个随机事件,下列事件中与A+B=B不等价的是______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] A+B=B等价于AB=A,AB=A等价于
等价于
,而
=A-AB,则
等价于AB=A,所以选D.
6. 设幂级数
与
的收敛半径分别为
与
,则幂级数
的收敛半径为______
A.5.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 设极限
与
都存在,则由题设条件可知
于是幂级数
的收敛半径为
8. 下列命题正确的是______.
A.若|f(x)|在x=a处连续,则f(x)在x=a处连续
B.若f(x)在x=a处连续,则|f(x)|在x=a处连续
C.若f(x)在x=a处连续,则f(x)在x=a的一个邻域内连续
D.若
,则f(x)在x=a处连续
A B C D
B
[解析] 令
显然|f(x)|=1处连续,然而f(x)处间断,A不对;
令
显然f(x)在x=0处连续,但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的,故C不对;
令
显然
,但f(x)在x=0处不连续,D不对;
若f(x)在x=a处连续,则
,又0≤||f(x)|-|f(a)||≤|f(x)-f(a)|,根据夹逼定理,
,选B.
二、填空题1. 二椭圆
(a>b>0)之间的图形的面积为______.
2. 设f(x)=x sin
2x,则f
(2017)(0)=______。
-220152017
[考点] 本题考查应用莱布尼茨公式求乘积函数的高阶导数。
[解析]
求2017次导数为0,对于
,根据莱布尼茨公式可得
3. 已知矩阵
与二次型x
TBx=
的矩阵B合同,则a的取值______.
a<0
[解析] 矩阵A与B合同
x
TAx与x
TBx有相同的正、负惯性指数.
由于
可见p
A=1,q
A=1.因而x
TBx=
的p
B=1,q
B=1时,矩阵A和B合同.
所以a<0即可.
不要误以为a=-3.当a=-3时,矩阵A和B不仅合同而且相似.
4. 常数项级数
的敛散性为______.
发散
[解析] 将已给级数每相邻二项加括号得新级数
因
收敛,
发散,则级数
发散,由于加括号后级数发散,故原级数必发散.
5. f(t)为连续函数,D是由y=x
3,y=1,x=-1围成的区域,则
[1+xy·f(x
2+y
2)]dxdy=______.
2
[解析] 如下图,
由区域的对称性可得
因此
6. 设随机变量X~U(-1,1),记Y=|X|,则ρ(x,y)=______.
0.
[解析] 由X~U(-1,1),知X的概率密度函数为
,
故
所以ρ(X,Y)=0.
三、解答题1. 设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)=1,F(x)f(x)=cos 2x,求
的值.
解:由已知得F'(x)=f(x),又由F(x)f(x)=cos 2x,得
F(x)F'(x)=
[F
2(x)]'=cos 2x,
从而有F
2(x)=sin 2x+C.又由F(0)=1,得C=1,所以
F
2(x)=sin 2x+1,F(x)=
=|cos x+sin x|.
则
2. 设f(x)在[a,b]上连续,证明:
证明:令
则
3. 设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,f'(x)单调增加,试证:
在(0,a)内也单调增加.
证明:因为f(x)=f(x)-f(0)=xf'(ξ),0<ξ<x(当x>0时),
又由于f'(x)单调增加,有f'(x)>f'(ξ),(当x>ξ时)
所以
故
在(0,a)内单调增加.
4. 设u=f(x,z),且z=z(x,y)是由方程z=x+yφ(z)所确定的隐函数,其中f具有连续偏导数,且φ具有连续导数,求du。
解:取全微分du=f
xdx+f
zdz,dz=
,故
。
[考点] 求全微分
5. 求微分方程y"+2y'+y=xe
x的通解.
解:特征方程r
2+2r+1=0的两个根为r
1=r
2=-1.
对应齐次方程之通解为Y=(C
1+C
2x)e
-x.
设所求方程的特解为y
*=(ax+b)e
x,则
y
*'=(ax+a+b)e
x,y
*"=(ax+2a+b)e
x,代入所给方程,有(4ax+4a+4b)e
x=xe
x.解得
而
最后得所求通解为
C
1,C
2为任意常数.
6.
解:
7. 设随机变量X在[0,π]上服从均匀分布,求Y=sinX的密度函数.
解:方法一(公式法) 由题设条件
函数y=sinx在
上单调增加,在
上单调减少,其反函数分别为
x=arcsiny,0<y<1; x=π-arcsiny,0<y<1.
所以,当0<y<1时,
于是
方法二(分布函数法)
当y≤0时,F
Y(y)=P{Y≤y}=0,f
Y(y)=0;
当y≥1时,F
Y(y)=P{Y≤y}=1,f
Y(y)=0;
当0<y<1时,
于是
8. 设f'(x)连续,
证明:
F(2a)-2F(a)=f
2(a)-f(0)f(2a).
证明:
故 F(2a)-2F(a)=f
2(a)-f(0)f(2a).
9. 设
,满足AX+(A
-1)
*X(A
*)
*=E,且|A|>0,求矩阵X.
解:由(A
-1)
*=(A
*)
-1,|A
*|=|A|
n-1,(A
*)
*=|A|
n-2·A,
知|A|
2=|A
*|=4,
又|A|>0,
故|A|=2,
所以原等式变形为
AX+(A
*)
-1X·2A=E,
左乘A
*得
A
*AX+A
*(A
*)
-1X·2A=A
*,
又
A
*A=AA
*=|A|E=2E,
故
2X+2XA=A
*.
即
2X(E+A)=A
*,
因此
,
而
故