一、选择题1. 设
,则行列式|[(E-A)
*]
-1|=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
故
,所以C正确.
4. 设
.则正确的是______
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A B C D
C
[解析] 证明(C)正确.由于
,所以存在
,当X∈
时f(x)≠0,从而
.因
,故知存在
,当x∈
时
.于是在x
0的去心邻域内,
.
因
,所以
.证毕.
容易举出例子说明(A)、(B)、(D)都不正确(例略).
6. 若级数
收敛,
发散,则______
A.
必发散.
B.
必收敛.
C.
必发散.
D.
必发散.
A B C D
D
[解析] 由
发散可知,
必发散,而
收敛,则
必发散,故选D.
7. 设函数f(x)连续,在x
0处可导,且f(x
0)=
,f'(x
0)>2x
0,则存在δ>0,使得______
- A.函数f(x)-x2在(x0,x0+δ)内单调增加.
- B.函数f(x)-x2在(x0-δ,x0)内单调减小.
- C.对任意的x∈(x0,x0+δ)有f(x)>x2.
- D.对任意的x∈(x0-δ,x0)有f(x)>x2.
A B C D
C
[解析] 令g(x)=f(x)-x
2,由已知得g(x
0)=0,g'(x
0)>0,
由极限的保号性,知存在δ>0,对
x∈(x
0,x
0+δ)有g(x)>g(x
0),即f(x)>x
2.
三、解答题1. 设a>0,函数f(x)在[0,+∞)上连续有界.证明:微分方程y'+ay=f(x)的解在[0,+∞)上有界.
证明:原方程的通解为
设f(x)在[0,+∞)上的上界为M,即|f(x)|≤M,则当x≥0时,有
即y(x)在[0,+∞)上有界.
设.已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解.2. 求λ,a;
解:因为方程组Ax=b存在2个不同的解,所以
,
于是λ=1或λ=-1,
当λ=1时,R(A)=1,
,方程组Ax=b无解,舍去,当λ=-1时,
当a=-2时,
,方程组Ax=b有无穷多解,故λ=-1,a=-2.
3. 求方程组Ax=b的通解.
解:当λ=-1,a=-2时,
所以方程组Ax=b的通解为
,k为任意常数.
4. 求
其中D:x
2+y
2≤π
2.
解:
5. 设f(x)可导,证明:f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f'(x)的零点.
证明:构造辅助函数F(x)=f(x)ex,由于f(x)可导,故F(x)可导,设x1和x2为f(x)的两个零点,且x1<x2,则F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得F'(ξ)=0,即f'(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f'(ξ)+f(ξ)]=0.
由于eξ≠0,因此必有f'(ξ)+f(ξ)=0.
[解析] f(x)的两个零点x1,x2(不妨设x1<x2)之间有f(x)+f'(x)的零点问题,相当于在(x1,x2)内有f(x)+f'(x)=0的点存在的问题.若能构造一个函数F(x),使F'(x)=[f(x)+f‘(x)]φ(x),而φ(x)≠0,则问题可以得到解决.由(ex)'=ex可以得到启发,令F(x)=f(x)ex.
6. 设随机变量X在(0,3)内随机取值,而随机变量Y在(X,3)内随机取值,求协方差Cov(X,Y).
解:X的概率密度
在X=x∈(0,3)的条件下,
于是(X,Y)的概率密度为
由此可得
其中D如下图所示.
由于
所以
所以,
7. 设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f'(x)≠1,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.
证明:令F(x)=f(x)-x,由题设可知F(x)在[0,1]上连续,又由于0<f(x)<1,所以
F(0)=f(0)-0>0, F(1)=f(1)-1<0,
由闭区间上连续函数的零值定理可知,在(0,1)内至少有一点x,使F(x)=0,即f(x)=x.用反证法证F(x)在(0,1)内至多有一个零点.
若不然,
∈(0,1),x
1<x
2,使得
f(x
1)=x
1, f(x
2)=x
2,
由拉格朗日中值定理,至少存在一个x∈(x
1,x
2)
(0,1)使得
与题设矛盾.
综上所述,命题得证.
设随机变量X的概率密度为,对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为观测次数。8. 求Y的概率分布;
解:记p为观测值大于3的概率,则
,从而P{Y=n}
,n=2,3,…为Y的概率分布。
9. 求EY。
解:方法一:将随机变量Y分解成Y=M+N两个过程,其中M表示从1到n(n<k)次试验观测值大于3首次发生,N表示从n+1次到k试验观测值大于3的首次发生。
则M~Ge(n,p),N~Ge(k-n,p)
所以
。
方法二:
,
设级数
,
[考点] 概率分布与期望的计算。